Precalcolo Esempi

$y^{2} = 1 - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $3 x^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y^{2} + 3 x^{2} = 1$

Passaggio 1.1.2

Riordina $y^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$3 x^{2} + y^{2} = 1$

Passaggio 1.2

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{3}} + y^{2} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 1$

$b = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

Passaggio 5.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

Passaggio 5.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

Passaggio 5.3.5.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Passaggio 5.3.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 5.3.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 5.3.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.8.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.8.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 5.3.8.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 5.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 5.3.9.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + 1)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(0, 1)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (1))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(0, - 1)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 + \frac{\sqrt{6}}{3})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0, 0 - (\frac{\sqrt{6}}{3}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}}{1}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Dividi $\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$ per $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{2}}$

Passaggio 8.3.1.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 - \frac{3^{1}}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{1 - \frac{3}{3^{2}}}$

Passaggio 8.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 - \frac{3}{9}}$

Passaggio 8.3.4

Elimina il fattore comune di $3$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\sqrt{1 - \frac{3 (1)}{9}}$

Passaggio 8.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.2.1

Scomponi $3$ da $9$ .

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 8.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 - \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 3}}$

Passaggio 8.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 - \frac{1}{3}}$

Passaggio 8.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Passaggio 8.3.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{3 - 1}{3}}$

Passaggio 8.3.5.3

Sottrai $1$ da $3$ .

$\sqrt{\frac{2}{3}}$

Passaggio 8.3.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2}{3}}$ come $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.8

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ per $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.8.2

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Passaggio 8.3.8.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Passaggio 8.3.8.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.8.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 8.3.8.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.8.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.8.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.8.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.8.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.8.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Passaggio 8.3.8.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 8.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{3}$

Passaggio 8.3.9.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(0, 1)$

${Vertex}_{2}$ : $(0, - 1)$

${Focus}_{1}$ : $(0, \frac{\sqrt{6}}{3})$

${Focus}_{2}$ : $(0, - \frac{\sqrt{6}}{3})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 10