Precalcolo Esempi

$x + 2 y - z = 7$ , $3 x - y + 4 z = - 7$ , $2 x + y + z = 2$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 7 \\ - 7 \\ 2 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}]$ .

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Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 1 & 2 & - 1 \\ 3 & - 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 2.2.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 2.2.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$- 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.2.9

Add the terms together.

$1 | \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} | - 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3

Calcola $| \begin{array}{c} - 1 & 4 \\ 1 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 (- 1 \cdot 1 - 1 \cdot 4) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 (- 1 - 1 \cdot 4) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$1 (- 1 - 4) - 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $4$ da $- 1$ .

$1 \cdot - 5 - 2 | \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} | - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.4

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & 4 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 5 - 2 (3 \cdot 1 - 2 \cdot 4) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 \cdot - 5 - 2 (3 - 2 \cdot 4) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $4$ .

$1 \cdot - 5 - 2 (3 - 8) - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $8$ da $3$ .

$1 \cdot - 5 - 2 \cdot - 5 - 1 | \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$

Passaggio 2.5

Calcola $| \begin{array}{c} 3 & - 1 \\ 2 & 1 \end{array} |$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$1 \cdot - 5 - 2 \cdot - 5 - 1 (3 \cdot 1 - 2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$1 \cdot - 5 - 2 \cdot - 5 - 1 (3 - 2 \cdot - 1)$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$1 \cdot - 5 - 2 \cdot - 5 - 1 (3 + 2)$

Passaggio 2.5.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$1 \cdot - 5 - 2 \cdot - 5 - 1 \cdot 5$

Passaggio 2.6

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$- 5 - 2 \cdot - 5 - 1 \cdot 5$

Passaggio 2.6.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 5$ .

$- 5 + 10 - 1 \cdot 5$

Passaggio 2.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $5$ .

$- 5 + 10 - 5$

Passaggio 2.6.2

Somma $- 5$ e $10$ .

$5 - 5$

Passaggio 2.6.3

Sottrai $5$ da $5$ .

$0$

$D = 0$

Passaggio 3

Since the determinant is $0$ , the system cannot be solved using Cramer's Rule.