Precalcolo Esempi

$2 x - 3 y = 12$ , $2 x + 4 y = - 8$

Passaggio 1

Rappresenta il sistema di equazioni con una matrice.

$[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}] [\begin{array}{c} x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$

Passaggio 2

Find the determinant of the coefficient matrix $[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Write $[\begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array}]$ in determinant notation.

$| \begin{array}{c} 2 & - 3 \\ 2 & 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot 4 - 2 \cdot - 3$

Passaggio 2.3

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 - 2 \cdot - 3$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$8 + 6$

Passaggio 2.3.2

Somma $8$ e $6$ .

$14$

$D = 14$

Passaggio 3

Since the determinant is not $0$ , the system can be solved using Cramer's Rule.

Passaggio 4

Find the value of $x$ by Cramer's Rule, which states that $x = \frac{D_{x}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Replace column $1$ of the coefficient matrix that corresponds to the $x$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 12 & - 3 \\ - 8 & 4 \end{array} |$

Passaggio 4.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$12 \cdot 4 - (- 8 \cdot - 3)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Moltiplica $12$ per $4$ .

$48 - (- 8 \cdot - 3)$

Passaggio 4.2.2.1.2

Moltiplica $- (- 8 \cdot - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.2.1

Moltiplica $- 8$ per $- 3$ .

$48 - 1 \cdot 24$

Passaggio 4.2.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$48 - 24$

Passaggio 4.2.2.2

Sottrai $24$ da $48$ .

$24$

$D_{x} = 24$

Passaggio 4.3

Use the formula to solve for $x$ .

$x = \frac{D_{x}}{D}$

Passaggio 4.4

Substitute $14$ for $D$ and $24$ for $D_{x}$ in the formula.

$x = \frac{24}{14}$

Passaggio 4.5

Elimina il fattore comune di $24$ e $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$x = \frac{2 (12)}{14}$

Passaggio 4.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$x = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 7}$

Passaggio 4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 7}$

Passaggio 4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{12}{7}$

Passaggio 5

Find the value of $y$ by Cramer's Rule, which states that $y = \frac{D_{y}}{D}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Replace column $2$ of the coefficient matrix that corresponds to the $y$ -coefficients of the system with $[\begin{array}{c} 12 \\ - 8 \end{array}]$ .

$| \begin{array}{c} 2 & 12 \\ 2 & - 8 \end{array} |$

Passaggio 5.2

Find the determinant.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$2 \cdot - 8 - 2 \cdot 12$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il determinante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$- 16 - 2 \cdot 12$

Passaggio 5.2.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $12$ .

$- 16 - 24$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $24$ da $- 16$ .

$- 40$

$D_{y} = - 40$

Passaggio 5.3

Use the formula to solve for $y$ .

$y = \frac{D_{y}}{D}$

Passaggio 5.4

Substitute $14$ for $D$ and $- 40$ for $D_{y}$ in the formula.

$y = \frac{- 40}{14}$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $- 40$ e $14$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $2$ da $- 40$ .

$y = \frac{2 (- 20)}{14}$

Passaggio 5.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $2$ da $14$ .

$y = \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 7}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{2 \cdot - 20}{2 \cdot 7}$

Passaggio 5.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{- 20}{7}$

Passaggio 5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{20}{7}$

Passaggio 6

Elenca la soluzione al sistema di equazioni.

$x = \frac{12}{7}$

$y = - \frac{20}{7}$