Precalcolo Esempi

${(y - 6)}^{2} = 12 (x + 2)$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi l'equazione come $12 (x + 2) = {(y - 6)}^{2}$ .

$12 (x + 2) = {(y - 6)}^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 (x + 2) = {(y - 6)}^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $12$ ciascun termine in $12 (x + 2) = {(y - 6)}^{2}$ .

$\frac{12 (x + 2)}{12} = \frac{{(y - 6)}^{2}}{12}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{12 (x + 2)}{12} = \frac{{(y - 6)}^{2}}{12}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $x + 2$ per $1$ .

$x + 2 = \frac{{(y - 6)}^{2}}{12}$

Passaggio 1.1.3

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{{(y - 6)}^{2}}{12} - 2$

Passaggio 1.1.4

Riordina i termini.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 6)}^{2} - 2$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $\frac{1}{12} \cdot {(y - 6)}^{2} - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.1

Riscrivi ${(y - 6)}^{2}$ come $(y - 6) (y - 6)$ .

$\frac{1}{12} \cdot ((y - 6) (y - 6)) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.2

Espandi $(y - 6) (y - 6)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y (y - 6) - 6 (y - 6)) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 (y - 6)) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} \cdot (y \cdot y + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.3.1.1

Moltiplica $y$ per $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} + y \cdot - 6 - 6 y - 6 \cdot - 6) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.3.1.2

Sposta $- 6$ alla sinistra di $y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 6 \cdot y - 6 y - 6 \cdot - 6) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.3.1.3

Moltiplica $- 6$ per $- 6$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 6 y - 6 y + 36) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.3.2

Sottrai $6 y$ da $- 6 y$ .

$\frac{1}{12} \cdot (y^{2} - 12 y + 36) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{12} y^{2} + \frac{1}{12} (- 12 y) + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Passaggio 1.2.1.1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.5.1

$\frac{1}{12}$ e $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (- 12 y) + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Passaggio 1.2.1.1.5.2

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.5.2.1

Scomponi $12$ da $- 12 y$ .

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (12 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Passaggio 1.2.1.1.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{12} + \frac{1}{12} (12 (- y)) + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Passaggio 1.2.1.1.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{12} - y + \frac{1}{12} \cdot 36 - 2$

Passaggio 1.2.1.1.5.3

Elimina il fattore comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1.5.3.1

Scomponi $12$ da $36$ .

$\frac{y^{2}}{12} - y + \frac{1}{12} \cdot (12 (3)) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2}}{12} - y + \frac{1}{12} \cdot (12 \cdot 3) - 2$

Passaggio 1.2.1.1.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2}}{12} - y + 3 - 2$

Passaggio 1.2.1.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{y^{2}}{12} - y + 1$

Passaggio 1.2.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{12}$

$b = - 1$

$c = 1$

Passaggio 1.2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 1}{2 (\frac{1}{12})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

$2$ e $\frac{1}{12}$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2}{12}}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2 (1)}{12}}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6}}$

Passaggio 1.2.4.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{\frac{1}{6}}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - 1 \cdot 6$

Passaggio 1.2.4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$d = - 6$

Passaggio 1.2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{4 (\frac{1}{12})}$

Passaggio 1.2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 1 - \frac{1}{4 (\frac{1}{12})}$

Passaggio 1.2.5.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{12}$ .

$e = 1 - \frac{1}{\frac{4}{12}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$e = 1 - \frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$e = 1 - \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 1 - \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 1 - \frac{1}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 1.2.5.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 1 - (1 \cdot 3)$

Passaggio 1.2.5.2.1.5

Moltiplica $- (1 \cdot 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.2.1.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e = 1 - 1 \cdot 3$

Passaggio 1.2.5.2.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$e = 1 - 3$

Passaggio 1.2.5.2.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$e = - 2$

Passaggio 1.2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $\frac{1}{12} {(y - 6)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{12} {(y - 6)}^{2} - 2$

Passaggio 1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = \frac{1}{12} \cdot {(y - 6)}^{2} - 2$

Passaggio 2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{12}$

$h = - 2$

$k = 6$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre a destra.

Si apre a destra

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 2, 6)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{12}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$4$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{12}}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$\frac{1}{\frac{4 (1)}{12}}$

Passaggio 5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 3}}$

Passaggio 5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 3$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, 6)$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = 6$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = - 5$

Passaggio 9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre a destra

Vertice: $(- 2, 6)$

Fuoco: $(1, 6)$

Asse di simmetria: $y = 6$

Direttrice: $x = - 5$

Passaggio 10