Precalcolo Esempi

$\frac{{(x + 7)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 7)}^{2}}{25} - \frac{{(y + 3)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 4$

$k = - 3$

$h = - 7$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 7, - 3)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + {(4)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{25 + 16}$

Passaggio 5.3.3

Somma $25$ e $16$ .

$\sqrt{41}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 2, - 3)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 12, - 3)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(- 2, - 3), (- 12, - 3)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 7 + \sqrt{41}, - 3)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 7 - \sqrt{41}, - 3)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(- 7 + \sqrt{41}, - 3), (- 7 - \sqrt{41}, - 3)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} + {(4)}^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 4^{2}}}{5}$

Passaggio 8.3.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{25 + 16}}{5}$

Passaggio 8.3.3

Somma $25$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{41}}{5}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{4^{2}}{\sqrt{41}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{16}{\sqrt{41}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{16}{\sqrt{41}}$ per $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{16}{\sqrt{41}} \cdot \frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{16}{\sqrt{41}}$ per $\frac{\sqrt{41}}{\sqrt{41}}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{\sqrt{41} \sqrt{41}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{41}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} \sqrt{41}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{41}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1} {\sqrt{41}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{\sqrt{41}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{41}}^{2}$ come $41$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{41}$ come $41^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{{(41^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{16 \sqrt{41}}{41}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{4}{5} \cdot (x - (- 7)) - 3$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{4}{5} \cdot (x - (- 7)) - 3$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{4}{5} \cdot (x - (- 7)) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$y = \frac{4}{5} \cdot (x + 7) - 3$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{4}{5} x + \frac{4}{5} \cdot 7 - 3$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{4}{5}$ e $x$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4}{5} \cdot 7 - 3$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{4}{5} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

$\frac{4}{5}$ e $7$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{4 \cdot 7}{5} - 3$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $4$ per $7$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{28}{5} - 3$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{28}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 11.2.3

$- 3$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{28}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{28 - 3 \cdot 5}{5}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{28 - 15}{5}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $15$ da $28$ .

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x - (- 7)) - 3$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{4}{5} \cdot (x - (- 7)) - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 7$ .

$y = - \frac{4}{5} \cdot (x + 7) - 3$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{4}{5} x - \frac{4}{5} \cdot 7 - 3$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - \frac{4}{5} \cdot 7 - 3$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- \frac{4}{5} \cdot 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $7$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} - 7 (\frac{4}{5}) - 3$

Passaggio 12.2.1.4.2

$- 7$ e $\frac{4}{5}$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 7 \cdot 4}{5} - 3$

Passaggio 12.2.1.4.3

Moltiplica $- 7$ per $4$ .

$y = - \frac{x \cdot 4}{5} + \frac{- 28}{5} - 3$

Passaggio 12.2.1.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.5.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{4 \cdot x}{5} + \frac{- 28}{5} - 3$

Passaggio 12.2.1.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4 x}{5} - \frac{28}{5} - 3$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - \frac{28}{5} - 3 \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 12.2.3

$- 3$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = - \frac{4 x}{5} - \frac{28}{5} + \frac{- 3 \cdot 5}{5}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{- 28 - 3 \cdot 5}{5}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $- 3$ per $5$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{- 28 - 15}{5}$

Passaggio 12.2.5.2

Sottrai $15$ da $- 28$ .

$y = - \frac{4 x}{5} + \frac{- 43}{5}$

Passaggio 12.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{4 x}{5} - \frac{43}{5}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}, y = - \frac{4 x}{5} - \frac{43}{5}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(- 7, - 3)$

Vertici: $(- 2, - 3), (- 12, - 3)$

Fuochi: $(- 7 + \sqrt{41}, - 3), (- 7 - \sqrt{41}, - 3)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{41}}{5}$

Asse focale: $\frac{16 \sqrt{41}}{41}$

Asintoti: $y = \frac{4 x}{5} + \frac{13}{5}$ , $y = - \frac{4 x}{5} - \frac{43}{5}$

Passaggio 15