Precalcolo Esempi

$2 x + y^{2} + 8 y + 8 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Sottrai $y^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x + 8 y + 8 = - y^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Sottrai $8 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x + 8 = - y^{2} - 8 y$

Passaggio 1.1.1.3

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = - y^{2} - 8 y - 8$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - y^{2} - 8 y - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = - y^{2} - 8 y - 8$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 8 y}{2} + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 8 y$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2} + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2 (1)} + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{2 (- 4 y)}{2 \cdot 1} + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = - \frac{y^{2}}{2} + \frac{- 4 y}{1} + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.4

Dividi $- 4 y$ per $1$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y + \frac{- 8}{2}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Dividi $- 8$ per $2$ .

$x = - \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 4$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- \frac{y^{2}}{2} - 4 y - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$b = - 4$

$c = - 4$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = - 2 (- 1 \cdot 2)$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $- 2 (- 1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2 \cdot - 2$

Passaggio 1.2.3.2.3.2

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$d = 4$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = - 4 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = - 4 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = - 4 - \frac{4^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = - 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.1

Elimina il fattore comune.

$e = - 4 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.2

Riscrivi l'espressione.

$e = - 4 - \frac{4}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = - 4 - (4 (- 1 \cdot 2))$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Moltiplica $- (4 (- 1 \cdot 2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e = - 4 - (4 \cdot - 2)$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$e = - 4 - - 8$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 8$ .

$e = - 4 + 8$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $- 4$ e $8$ .

$e = 4$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 4$ .

$- \frac{1}{2} {(y + 4)}^{2} + 4$

Passaggio 1.3

Imposta $x$ uguale al nuovo lato destro.

$x = - \frac{1}{2} \cdot {(y + 4)}^{2} + 4$

Passaggio 2

Utilizza la forma di vertice, $x = a {(y - k)}^{2} + h$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 4$

$k = - 4$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola è rivolta a sinistra.

Rivolta a sinistra

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(4, - 4)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 5.3.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 5.3.3

Dividi $4$ per $2$ .

$- \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata x $h$ se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$(h + p, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{7}{2}, - 4)$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$y = - 4$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta verticale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata x $h$ del vertice se la parabola è rivolta verso sinistra o destra.

$x = h - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $h$ nella formula e semplifica.

$x = \frac{9}{2}$

Passaggio 9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: rivolta a sinistra

Vertice: $(4, - 4)$

Fuoco: $(\frac{7}{2}, - 4)$

Asse di simmetria: $y = - 4$

Direttrice: $x = \frac{9}{2}$

Passaggio 10