Precalcolo Esempi

$4 x^{2} + 9 y^{2} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}} + \frac{y^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}}$

Passaggio 5.3.7

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}}$

Passaggio 5.3.8

Per scrivere $- \frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.9.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.9.3

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Passaggio 5.3.9.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}}$

Passaggio 5.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}}$

Passaggio 5.3.11

Sottrai $4$ da $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}}$

Passaggio 5.3.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{5}{36}}$ come $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$

Passaggio 5.3.13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.13.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 + \frac{1}{2}, 0)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(\frac{1}{2}, 0)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\frac{1}{2}), 0)$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- \frac{1}{2}, 0)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 + \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Passaggio 7.4

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(0 - (\frac{\sqrt{5}}{6}), 0)$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.8

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.9

Per scrivere $- \frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.10.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.10.3

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.10.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} - \frac{4}{36}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{9 - 4}{36}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.12

Sottrai $4$ da $9$ .

$\sqrt{\frac{5}{36}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.13

Riscrivi $\sqrt{\frac{5}{36}}$ come $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.14.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{5}}{6} \cdot 2$

Passaggio 8.3.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.15.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{\sqrt{5}}{2 (3)} \cdot 2$

Passaggio 8.3.15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{5}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Passaggio 8.3.15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(\frac{1}{2}, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- \frac{1}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{\sqrt{5}}{6}, 0)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Passaggio 10