Precalcolo Esempi

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y - 129 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $129$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $4 x^{2} - 16 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 16$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 16}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 (4)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 8$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 2}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 16)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 16$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{256}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{256}{16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $256$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e = 0 - 16$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$e = - 16$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16$

Passaggio 1.3

Sostituisci $4 x^{2} - 16 x$ con $4 {(x - 2)}^{2} - 16$ nell'equazione $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 16 - 9 y^{2} - 72 y = 129$

Passaggio 1.4

Sposta $- 16$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $16$ a entrambi i lati.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 y^{2} - 72 y = 129 + 16$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- 9 y^{2} - 72 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 9$

$b = - 72$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 72}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 72$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 72$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 (- 9)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 36}{2 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 36}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 36$ e $- 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 36$ .

$d = \frac{- 9 (4)}{- 9}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $- 9$ da $- 9$ .

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{- 9 \cdot 4}{- 9 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$d = 4$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 72)}^{2}}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 72$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{5184}{4 \cdot - 9}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 9$ .

$e = 0 - \frac{5184}{- 36}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $5184$ per $- 36$ .

$e = 0 - - 144$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 144$ .

$e = 0 + 144$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $144$ .

$e = 144$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ .

$- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- 9 y^{2} - 72 y$ con $- 9 {(y + 4)}^{2} + 144$ nell'equazione $4 x^{2} - 9 y^{2} - 16 x - 72 y = 129$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} + 144 = 129 + 16$

Passaggio 1.7

Sposta $144$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $144$ a entrambi i lati.

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 129 + 16 - 144$

Passaggio 1.8

Semplifica $129 + 16 - 144$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $129$ e $16$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 145 - 144$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $144$ da $145$ .

$4 {(x - 2)}^{2} - 9 {(y + 4)}^{2} = 1$

Passaggio 1.9

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{\frac{1}{4}} - \frac{{(y + 4)}^{2}}{\frac{1}{9}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \frac{1}{2}$

$b = \frac{1}{3}$

$k = - 4$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(2, - 4)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}}$

Passaggio 5.3.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 5.3.7

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Passaggio 5.3.8

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.9.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.9.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.9.3

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}}$

Passaggio 5.3.9.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}}$

Passaggio 5.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}}$

Passaggio 5.3.11

Somma $9$ e $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}}$

Passaggio 5.3.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{13}{36}}$ come $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$

Passaggio 5.3.13

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.13.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.13.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{13}}{6}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{5}{2}, - 4)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(\frac{3}{2}, - 4)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}}}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\sqrt{\frac{1^{2}}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{2^{2}} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + {(\frac{1}{3})}^{2}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{3}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1^{2}}{3^{2}}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{3^{2}}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.7

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.8

Per scrivere $\frac{1}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.9

Per scrivere $\frac{1}{9}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{9}{9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $36$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.10.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\sqrt{\frac{9}{4 \cdot 9} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.10.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.10.3

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.10.4

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{9}{36} + \frac{4}{36}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{9 + 4}{36}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.12

Somma $9$ e $4$ .

$\sqrt{\frac{13}{36}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.13

Riscrivi $\sqrt{\frac{13}{36}}$ come $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{36}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{6^{2}}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.14.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\sqrt{13}}{6} \cdot 2$

Passaggio 8.3.15

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.15.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{\sqrt{13}}{2 (3)} \cdot 2$

Passaggio 8.3.15.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{13}}{2 \cdot 3} \cdot 2$

Passaggio 8.3.15.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{13}}{3}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}}}{6}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\frac{1}{3^{2}}}{\sqrt{13}} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 9.3.2

Combina.

$\frac{\frac{1}{3^{2}} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Passaggio 9.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\frac{1}{9} \cdot 1}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Passaggio 9.3.3.2

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$\frac{\frac{1}{9}}{\sqrt{13} \cdot 6}$

Passaggio 9.3.3.3

Sposta $6$ alla sinistra di $\sqrt{13}$ .

$\frac{\frac{1}{9}}{6 \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{6 \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.5

Moltiplica $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{6 \sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}})$

Passaggio 9.3.6

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.1

Moltiplica $\frac{1}{6 \sqrt{13}}$ per $\frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \sqrt{13} \sqrt{13}}$

Passaggio 9.3.6.2

Sposta $\sqrt{13}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 (\sqrt{13} \sqrt{13})}$

Passaggio 9.3.6.3

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} \sqrt{13})}$

Passaggio 9.3.6.4

Eleva $\sqrt{13}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 ({\sqrt{13}}^{1} {\sqrt{13}}^{1})}$

Passaggio 9.3.6.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.6.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {\sqrt{13}}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7

Riscrivi ${\sqrt{13}}^{2}$ come $13$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{13}$ come $13^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 {(13^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.6.7.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.6.7.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.6.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.6.7.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13^{1}}$

Passaggio 9.3.6.7.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{6 \cdot 13}$

Passaggio 9.3.7

Moltiplica $6$ per $13$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$

Passaggio 9.3.8

Moltiplica $\frac{1}{9} \cdot \frac{\sqrt{13}}{78}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.8.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{\sqrt{13}}{78}$ .

$\frac{\sqrt{13}}{9 \cdot 78}$

Passaggio 9.3.8.2

Moltiplica $9$ per $78$ .

$\frac{\sqrt{13}}{702}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Passaggio 11.2

Semplifica $\frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

Passaggio 11.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{2}{3} x + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Passaggio 11.2.1.3

$\frac{2}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.4.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{2 \cdot - 2}{3} - 4$

Passaggio 11.2.1.4.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4}{3} - 4$

Passaggio 11.2.1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 11.2.3

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 4 - 12}{3}$

Passaggio 11.2.5.2

Sottrai $12$ da $- 4$ .

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{- 16}{3}$

Passaggio 11.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$

Passaggio 12.2

Semplifica $- \frac{2}{3} \cdot (x - (2)) - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - \frac{2}{3} \cdot (x - 2) - 4$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Passaggio 12.2.1.3

$x$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} - \frac{2}{3} \cdot - 2 - 4$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- \frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.4.1

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + 2 (\frac{2}{3}) - 4$

Passaggio 12.2.1.4.2

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{2 \cdot 2}{3} - 4$

Passaggio 12.2.1.4.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$y = - \frac{x \cdot 2}{3} + \frac{4}{3} - 4$

Passaggio 12.2.1.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4$

Passaggio 12.2.2

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 12.2.3

$- 4$ e $\frac{3}{3}$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 4 \cdot 3}{3}$

Passaggio 12.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.5.1

Moltiplica $- 4$ per $3$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{4 - 12}{3}$

Passaggio 12.2.5.2

Sottrai $12$ da $4$ .

$y = - \frac{2 x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Passaggio 12.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}, y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(2, - 4)$

Vertici: $(\frac{5}{2}, - 4), (\frac{3}{2}, - 4)$

Fuochi: $(2 + \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4), (2 - \frac{\sqrt{13}}{6}, - 4)$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{13}}{3}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{13}}{702}$

Asintoti: $y = \frac{2 x}{3} - \frac{16}{3}$ , $y = - \frac{2 x}{3} - \frac{8}{3}$

Passaggio 15