Precalcolo Esempi

$x^{2} - y^{2} = 4 (x - y) + 1$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $4 (x - y)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - y^{2} - 4 (x - y) = 1$

Passaggio 1.1.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} - y^{2} - 4 x - 4 (- y) = 1$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $x^{2} - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = - 4$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 2}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.4

Dividi $- 2$ per $1$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di ${(- 4)}^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.1

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $- 1 (4)$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.4

Moltiplica $4^{2}$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.5

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.6.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x - 2)}^{2} - 4$ .

${(x - 2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x^{2} - 4 x$ con ${(x - 2)}^{2} - 4$ nell'equazione $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - 4 - y^{2} + 4 y = 1$

Passaggio 1.4

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

${(x - 2)}^{2} - y^{2} + 4 y = 1 + 4$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- y^{2} + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 4$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{4}{- 1}$ .

$e = 0 - (- 1 \cdot 4)$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $- (- 1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - - 4$

Passaggio 1.5.4.2.1.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$e = 0 + 4$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $4$ .

$e = 4$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- {(y - 2)}^{2} + 4$ .

$- {(y - 2)}^{2} + 4$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- y^{2} + 4 y$ con $- {(y - 2)}^{2} + 4$ nell'equazione $x^{2} - y^{2} - 4 x + 4 y = 1$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} + 4 = 1 + 4$

Passaggio 1.7

Sposta $4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1 + 4 - 4$

Passaggio 1.8

Semplifica $1 + 4 - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $1$ e $4$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 5 - 4$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $4$ da $5$ .

${(x - 2)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 1$

$b = 1$

$k = 2$

$h = 2$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(2, 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + 1}$

Passaggio 5.3.3

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(3, 2)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(1, 2)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm a, k)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(3, 2), (1, 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2 + \sqrt{2}, 2)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(2 - \sqrt{2}, 2)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ per $1$ .

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

Passaggio 8.3.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

Passaggio 8.3.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\sqrt{1 + 1}$

Passaggio 8.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{2}$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 9.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 9.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 9.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 9.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 9.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 9.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 9.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ perché questa iperbole è rivolta verso destra e sinistra.

$y = \pm 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Passaggio 11

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Rimuovi le parentesi.

$y = 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Passaggio 11.2

Semplifica $1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $x - (2)$ per $1$ .

$y = x - (2) + 2$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = x - 2 + 2$

Passaggio 11.2.2

Combina i termini opposti in $x - 2 + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$y = x + 0$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $x$ e $0$ .

$y = x$

Passaggio 12

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 1 \cdot (x - (2)) + 2$

Passaggio 12.2

Semplifica $- 1 \cdot (x - (2)) + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - 1 \cdot (x - 2) + 2$

Passaggio 12.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - 1 x - 1 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 12.2.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y = - x - 1 \cdot - 2 + 2$

Passaggio 12.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$y = - x + 2 + 2$

Passaggio 12.2.2

Somma $2$ e $2$ .

$y = - x + 4$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = x, y = - x + 4$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(2, 2)$

Vertici: $(3, 2), (1, 2)$

Fuochi: $(2 + \sqrt{2}, 2), (2 - \sqrt{2}, 2)$

Eccentricità: $\sqrt{2}$

Asse focale: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Asintoti: $y = x$ , $y = - x + 4$

Passaggio 15