Precalcolo Esempi

$x^{2} + 2 x + 15 y = - 3 y^{2} + 7$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sposta tutti i termini contenenti variabili sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Somma $3 y^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + 2 x + 15 y + 3 y^{2} = 7$

Passaggio 1.1.2

Sposta $15 y$ .

$x^{2} + 2 x + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Passaggio 1.1.3

Sposta $2 x$ .

$x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e = 0 - 1$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$e = - 1$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x + 1)}^{2} - 1$ .

${(x + 1)}^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Sostituisci $x^{2} + 2 x$ con ${(x + 1)}^{2} - 1$ nell'equazione $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} - 1 + 3 y^{2} + 15 y = 7$

Passaggio 1.4

Sposta $- 1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

${(x + 1)}^{2} + 3 y^{2} + 15 y = 7 + 1$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $3 y^{2} + 15 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = 15$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{15}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune di $15$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Scomponi $3$ da $15$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $3$ da $2 \cdot 3$ .

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{15^{2}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $15$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{225}{4 \cdot 3}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$e = 0 - \frac{225}{12}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $225$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.3.1

Scomponi $3$ da $225$ .

$e = 0 - \frac{3 (75)}{12}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.3.2.1

Scomponi $3$ da $12$ .

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{3 \cdot 75}{3 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{75}{4}$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $\frac{75}{4}$ da $0$ .

$e = - \frac{75}{4}$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ .

$3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $3 y^{2} + 15 y$ con $3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4}$ nell'equazione $x^{2} + 3 y^{2} + 2 x + 15 y = 7$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{75}{4} = 7 + 1$

Passaggio 1.7

Sposta $- \frac{75}{4}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{75}{4}$ a entrambi i lati.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = 7 + 1 + \frac{75}{4}$

Passaggio 1.8

Semplifica $7 + 1 + \frac{75}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1.1

Scrivi $7$ come una frazione con denominatore $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} + 1 + \frac{75}{4}$

Passaggio 1.8.1.2

Moltiplica $\frac{7}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7}{1} \cdot \frac{4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Passaggio 1.8.1.3

Moltiplica $\frac{7}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + 1 + \frac{75}{4}$

Passaggio 1.8.1.4

Scrivi $1$ come una frazione con denominatore $1$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} + \frac{75}{4}$

Passaggio 1.8.1.5

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Passaggio 1.8.1.6

Moltiplica $\frac{1}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4}{4} + \frac{4}{4} + \frac{75}{4}$

Passaggio 1.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{7 \cdot 4 + 4 + 75}{4}$

Passaggio 1.8.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.3.1

Moltiplica $7$ per $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{28 + 4 + 75}{4}$

Passaggio 1.8.3.2

Somma $28$ e $4$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{32 + 75}{4}$

Passaggio 1.8.3.3

Somma $32$ e $75$ .

${(x + 1)}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{2})}^{2} = \frac{107}{4}$

Passaggio 1.9

Dividi per $\frac{107}{4}$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{4}} = \frac{\frac{107}{4}}{\frac{107}{4}}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{107}{4}} + \frac{{(y + \frac{5}{2})}^{2}}{\frac{107}{12}} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = \frac{\sqrt{107}}{2}$

$b = \frac{\sqrt{321}}{6}$

$k = - \frac{5}{2}$

$h = - 1$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 1, - \frac{5}{2})$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{107}}^{2}$ come $107$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{107}$ come $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}$

Passaggio 5.3.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi ${\sqrt{321}}^{2}$ come $321$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{321}$ come $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.4.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}}$

Passaggio 5.3.5

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}}$

Passaggio 5.3.6

Elimina il fattore comune di $321$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.1

Scomponi $3$ da $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}}$

Passaggio 5.3.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.6.2.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Passaggio 5.3.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}}$

Passaggio 5.3.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}}$

Passaggio 5.3.7

Per scrivere $\frac{107}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}}$

Passaggio 5.3.8

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $\frac{107}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}}$

Passaggio 5.3.8.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}}$

Passaggio 5.3.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Moltiplica $107$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}}$

Passaggio 5.3.10.2

Sottrai $107$ da $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}}$

Passaggio 5.3.11

Elimina il fattore comune di $214$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Scomponi $2$ da $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}}$

Passaggio 5.3.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Passaggio 5.3.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}}$

Passaggio 5.3.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{107}{6}}$

Passaggio 5.3.12

Riscrivi $\sqrt{\frac{107}{6}}$ come $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 5.3.13

Moltiplica $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 5.3.14

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.14.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 5.3.14.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Passaggio 5.3.14.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Passaggio 5.3.14.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 5.3.14.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 5.3.14.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.14.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.14.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.14.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.14.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.14.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.14.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6^{1}}$

Passaggio 5.3.14.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{107} \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 5.3.15

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.15.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{\sqrt{107 \cdot 6}}{6}$

Passaggio 5.3.15.2

Moltiplica $107$ per $6$ .

$\frac{\sqrt{642}}{6}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $h$ .

$(h + a, k)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 6.3

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{107}}{2}), - \frac{5}{2})$

Passaggio 6.5

Semplifica.

$(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 6.6

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $h$ .

$(h + c, k)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $h$ .

$(h - c, k)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 1 - (\frac{\sqrt{642}}{6}), - \frac{5}{2})$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}}}{\frac{\sqrt{107}}{2}}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{107}}{2})}^{2} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{107}}{2}$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{107}}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.3

Riscrivi ${\sqrt{107}}^{2}$ come $107$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{107}$ come $107^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{(107^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.3.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.3.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{107^{\frac{2}{2}}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.3.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{107^{1}}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.3.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{107}{2^{2}} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.4.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - {(\frac{\sqrt{321}}{6})}^{2}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt{321}}{6}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{\sqrt{321}}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.5

Riscrivi ${\sqrt{321}}^{2}$ come $321$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{321}$ come $321^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{{(321^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{\frac{2}{2}}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321^{1}}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.5.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{6^{2}}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.6

Eleva $6$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{321}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.7

Elimina il fattore comune di $321$ e $36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.1

Scomponi $3$ da $321$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 (107)}{36}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.7.2.1

Scomponi $3$ da $36$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{3 \cdot 107}{3 \cdot 12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{107}{4} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.8

Per scrivere $\frac{107}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107}{4} \cdot \frac{3}{3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.9

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.9.1

Moltiplica $\frac{107}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.9.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3}{12} - \frac{107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{107 \cdot 3 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.11.1

Moltiplica $107$ per $3$ .

$\sqrt{\frac{321 - 107}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.11.2

Sottrai $107$ da $321$ .

$\sqrt{\frac{214}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.12

Elimina il fattore comune di $214$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Scomponi $2$ da $214$ .

$\sqrt{\frac{2 (107)}{12}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{2 \cdot 107}{2 \cdot 6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{107}{6}} \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.13

Riscrivi $\sqrt{\frac{107}{6}}$ come $\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.14

Elimina il fattore comune di $\sqrt{107}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.14.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{107}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{2}{\sqrt{107}}$

Passaggio 8.3.14.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot 2$

Passaggio 8.3.15

$\frac{1}{\sqrt{6}}$ e $2$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.16

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.17

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.17.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.17.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

Passaggio 8.3.17.3

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

Passaggio 8.3.17.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

Passaggio 8.3.17.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 8.3.17.6

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.17.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 8.3.17.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 8.3.17.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.17.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.17.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 8.3.17.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6^{1}}$

Passaggio 8.3.17.6.5

Calcola l'esponente.

$\frac{2 \sqrt{6}}{6}$

Passaggio 8.3.18

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.18.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{6}$ .

$\frac{2 (\sqrt{6})}{6}$

Passaggio 8.3.18.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.18.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.18.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{6}}{2 \cdot 3}$

Passaggio 8.3.18.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(- 1, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{107}}{2}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1 + \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1 - \frac{\sqrt{642}}{6}, - \frac{5}{2})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Passaggio 10