Precalcolo Esempi

$x^{2} + 6 x - 4 y + 1 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 x - 4 y + 1 = - x^{2}$

Passaggio 1.1.1.2

Sottrai $6 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y + 1 = - x^{2} - 6 x$

Passaggio 1.1.1.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 y = - x^{2} - 6 x - 1$ .

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{- 4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (2)} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 2 (3 x)}{- 2 \cdot 2} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $\frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2} + \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = \frac{1}{4}$

$b = \frac{3}{2}$

$c = \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{2}}{2 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.2.3.2.2

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2}{4}}$

Passaggio 1.2.3.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 (1)}{4}}$

Passaggio 1.2.3.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.3.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.3.2.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{3}{2} (1 \cdot 2)$

Passaggio 1.2.3.2.5

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.5.1

Scomponi $2$ da $1 \cdot 2$ .

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3}{2} (2 \cdot 1)$

Passaggio 1.2.3.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$d = 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.2.4.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3^{2}}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{2^{2}}}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{4 (\frac{1}{4})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $4$ per $4$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{\frac{9}{4}}{1}$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Dividi $\frac{9}{4}$ per $1$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$e = \frac{1 - 9}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.3

Sottrai $9$ da $1$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 1.2.4.2.4

Dividi $- 8$ per $4$ .

$e = - 2$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$ .

$\frac{1}{4} {(x + 3)}^{2} - 2$

Passaggio 1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = \frac{1}{4} \cdot {(x + 3)}^{2} - 2$

Passaggio 2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{4}$

$h = - 3$

$k = - 2$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(- 3, - 2)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

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Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

$4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{4}}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica dividendo i numeri.

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Passaggio 5.3.2.1

Dividi $4$ per $4$ .

$\frac{1}{1}$

Passaggio 5.3.2.2

Dividi $1$ per $1$ .

$1$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

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Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(- 3, - 1)$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - 3$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = - 3$

Passaggio 9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice: $(- 3, - 2)$

Fuoco: $(- 3, - 1)$

Asse di simmetria: $x = - 3$

Direttrice: $y = - 3$

Passaggio 10