Precalcolo Esempi

$x^{2} + 8 y = 0$

Passaggio 1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Isola $y$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Sottrai $x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$8 y = - x^{2}$

Passaggio 1.1.2

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y = - x^{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi per $8$ ciascun termine in $8 y = - x^{2}$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{- x^{2}}{8}$

Passaggio 1.1.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{8 y}{8} = \frac{- x^{2}}{8}$

Passaggio 1.1.2.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{- x^{2}}{8}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{x^{2}}{8}$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $- \frac{x^{2}}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$b = 0$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{0}{2 (- \frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$d = \frac{2 (0)}{2 (- \frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 0}{2 (- \frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{0}{- \frac{1}{8}}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = 0 (- 1 \cdot 8)$

Passaggio 1.2.3.2.3

Moltiplica $0 (- 1 \cdot 8)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$d = 0 \cdot - 8$

Passaggio 1.2.3.2.3.2

Moltiplica $0$ per $- 8$ .

$d = 0$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{0^{2}}{4 (- \frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$e = 0 - \frac{0}{4 (- \frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{0}{- 4 (\frac{1}{8})}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2.2

$- 4$ e $\frac{1}{8}$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 4}{8}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 (- 1)}{8}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{0}{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$e = 0 - \frac{0}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 0 - (0 (- 1 \cdot 2))$

Passaggio 1.2.4.2.1.5

Moltiplica $- (0 (- 1 \cdot 2))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.5.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$e = 0 - (0 \cdot - 2)$

Passaggio 1.2.4.2.1.5.2

Moltiplica $0$ per $- 2$ .

$e = 0 - 0$

Passaggio 1.2.4.2.1.5.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$e = 0 + 0$

Passaggio 1.2.4.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$e = 0$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- \frac{1}{8} x^{2}$ .

$- \frac{1}{8} x^{2}$

Passaggio 1.3

Imposta $y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = - \frac{1}{8} x^{2}$

Passaggio 2

Utilizza la forma di vertice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{1}{8}$

$h = 0$

$k = 0$

Passaggio 3

Poiché il valore di $a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 4

Trova il vertice $(h, k)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 5.2

Sostituisci il valore di $a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{1}{8})}$

Passaggio 5.3.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{4 (\frac{1}{8})}$

Passaggio 5.3.2

$4$ e $\frac{1}{8}$ .

$- \frac{1}{\frac{4}{8}}$

Passaggio 5.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{1}{\frac{4 (1)}{8}}$

Passaggio 5.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 \cdot 2)$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $- (1 \cdot 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 1 \cdot 2$

Passaggio 5.3.5.2

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2$

Passaggio 6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando $p$ alla coordinata y $k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 2)$

Passaggio 7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = 0$

Passaggio 8

Trova la direttrice.

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Passaggio 8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo $p$ dalla coordinata y $k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori noti di $p$ e $k$ nella formula e semplifica.

$y = 2$

Passaggio 9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice: $(0, 0)$

Fuoco: $(0, - 2)$

Asse di simmetria: $x = 0$

Direttrice: $y = 2$

Passaggio 10