Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{8} 7 {(\frac{1}{10})}^{k}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{7 {(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{7 {(\frac{1}{10})}^{k}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ e ${(\frac{1}{10})}^{k}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{1}{10})}^{k}$ da ${(\frac{1}{10})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{10})}^{k} \frac{1}{10}}{{(\frac{1}{10})}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{1}{10}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi $\frac{1}{10}$ per $1$ .

$r = \frac{1}{10}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $k$ con $1$ in $7 {(\frac{1}{10})}^{k}$ .

$a = 7 {(\frac{1}{10})}^{1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica.

$a = 7 (\frac{1}{10})$

Passaggio 3.2.2

$7$ e $\frac{1}{10}$ .

$a = \frac{7}{10}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}}$ per $\frac{10}{10}$ .

$\frac{7}{10} (\frac{10}{10} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{10})}^{8}}{1 - \frac{1}{10}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 (1 - {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 (1 - \frac{1}{10})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (- \frac{1}{10})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{10}$ nel numeratore.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 + 10 (\frac{- 1}{10})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot 1 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- {(\frac{1}{10})}^{8})}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{10}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 (- \frac{1^{8}}{10^{8}})}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{8}}{10^{8}}$ nel numeratore.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10^{8}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $10$ da $10^{8}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + 10 \frac{- 1^{8}}{10 \cdot 10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1^{8}}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10^{7}}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $10$ alla potenza di $7$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1 \cdot 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 + \frac{- 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $10$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{10000000}{10000000}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{10 \cdot \frac{10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.9

$10$ e $\frac{10000000}{10000000}$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000}{10000000} - \frac{1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{10 \cdot 10000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $10$ per $10000000$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{100000000 - 1}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $1$ da $100000000$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $10$ per $1$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{10 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da $10$ .

$\frac{7}{10} \cdot \frac{\frac{99999999}{10000000}}{9}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{7}{10} (\frac{99999999}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Scomponi $9$ da $99999999$ .

$\frac{7}{10} (\frac{9 (11111111)}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{10} (\frac{9 \cdot 11111111}{10000000} \cdot \frac{1}{9})$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $\frac{7}{10} \cdot \frac{11111111}{10000000}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Moltiplica $\frac{7}{10}$ per $\frac{11111111}{10000000}$ .

$\frac{7 \cdot 11111111}{10 \cdot 10000000}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $7$ per $11111111$ .

$\frac{77777777}{10 \cdot 10000000}$

Passaggio 5.8.3

Moltiplica $10$ per $10000000$ .

$\frac{77777777}{100000000}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{77777777}{100000000}$

Forma decimale:

$0.\overline{7}$