Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{8} - 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ e ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ da ${(- \frac{3}{5})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- \frac{3}{5})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $k$ e $0$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{k - k + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- \frac{3}{5})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = - \frac{3}{5}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $k$ con $1$ in $- 3 {(- \frac{3}{5})}^{k - 1}$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = - 3 {(- \frac{3}{5})}^{0}$

Passaggio 3.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} {(\frac{3}{5})}^{0})$

Passaggio 3.2.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{5}$ .

$a = - 3 ({(- 1)}^{0} \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = - 3 (1 \frac{3^{0}}{5^{0}})$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $\frac{3^{0}}{5^{0}}$ per $1$ .

$a = - 3 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = - 3 \frac{1}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.6

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.7

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

Elimina il fattore comune.

$a = - 3 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.7.2

Riscrivi l'espressione.

$a = - 3 \cdot 1$

Passaggio 3.2.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$a = - 3$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$- 3 \frac{1 - {(- \frac{3}{5})}^{8}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{3}{5})}^{8})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{5}$ .

$- 3 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{3^{8}}{5^{8}})}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.2

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Sposta ${(- 1)}^{8}$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.2.2

Moltiplica ${(- 1)}^{8}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.2.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.2.3

Somma $8$ e $1$ .

$- 3 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $9$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{3^{8}}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{5^{8}}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.5

Eleva $5$ alla potenza di $8$ .

$- 3 \frac{1 - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.6

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- 3 \frac{\frac{390625}{390625} - \frac{6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 \frac{\frac{390625 - 6561}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.1.8

Sottrai $6561$ da $390625$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 - - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- - \frac{3}{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + 1 (\frac{3}{5})}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{1 + \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5}{5} + \frac{3}{5}}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{5 + 3}{5}}$

Passaggio 5.2.4

Somma $5$ e $3$ .

$- 3 \frac{\frac{384064}{390625}}{\frac{8}{5}}$

Passaggio 5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 3 (\frac{384064}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Scomponi $8$ da $384064$ .

$- 3 (\frac{8 (48008)}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 (\frac{8 \cdot 48008}{390625} \cdot \frac{5}{8})$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 (\frac{48008}{390625} \cdot 5)$

Passaggio 5.5

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $5$ da $390625$ .

$- 3 (\frac{48008}{5 (78125)} \cdot 5)$

Passaggio 5.5.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 (\frac{48008}{5 \cdot 78125} \cdot 5)$

Passaggio 5.5.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 (\frac{48008}{78125})$

Passaggio 5.6

Moltiplica $- 3 (\frac{48008}{78125})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

$- 3$ e $\frac{48008}{78125}$ .

$\frac{- 3 \cdot 48008}{78125}$

Passaggio 5.6.2

Moltiplica $- 3$ per $48008$ .

$\frac{- 144024}{78125}$

Passaggio 5.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{144024}{78125}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{144024}{78125}$

Forma decimale:

$- 1.8435072$

Forma numero misto:

$- 1 \frac{65899}{78125}$