Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 2}^{32} (9) {(- 1)}^{k - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{9 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{9 {(- 1)}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{9 {(- 1)}^{k + 1 - 1}}{9 {(- 1)}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1 - 1}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ e ${(- 1)}^{k - 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(- 1)}^{k - 1}$ da ${(- 1)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- 1)}^{k - 1} {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 1)}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- 1)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $k$ e $0$ .

$r = {(- 1)}^{k - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- 1)}^{k - k - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- 1)}^{k - k + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = {(- 1)}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- 1)}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Calcola l'esponente.

$r = - 1$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.1

Sostituisci $k$ con $2$ in $(9) {(- 1)}^{k - 1}$ .

$a = 9 {(- 1)}^{2 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $2$ .

$a = 9 {(- 1)}^{1}$

Passaggio 3.2.2

Calcola l'esponente.

$a = 9 \cdot - 1$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$a = - 9$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$- 9 \frac{1 - {(- 1)}^{31}}{1 - - 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{31}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{31}$ .

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Passaggio 5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{31}}{1 - - 1}$

Passaggio 5.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 31}}{1 - - 1}$

Passaggio 5.1.1.2

Somma $1$ e $31$ .

$- 9 \frac{1 + {(- 1)}^{32}}{1 - - 1}$

Passaggio 5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $32$ .

$- 9 \frac{1 + 1}{1 - - 1}$

Passaggio 5.1.3

Somma $1$ e $1$ .

$- 9 \frac{2}{1 - - 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 9 \frac{2}{1 + 1}$

Passaggio 5.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- 9 (\frac{2}{2})$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.3.1

Elimina il fattore comune.

$- 9 (\frac{2}{2})$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi l'espressione.

$- 9 \cdot 1$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 9$ per $1$ .

$- 9$