Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3 - 5 k}{4}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $k$ uguale a $1$ .

$\sum_{k = 15}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} - \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$

Passaggio 2.2

Calcola $\sum_{k = 1}^{46} \frac{3}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 2.2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(\frac{3}{4}) (46)$

Passaggio 2.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 46$

Passaggio 2.2.3.1.2

Scomponi $2$ da $46$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Passaggio 2.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 23)$

Passaggio 2.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} \cdot 23$

Passaggio 2.2.3.2

$\frac{3}{2}$ e $23$ .

$\frac{3 \cdot 23}{2}$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $23$ .

$\frac{69}{2}$

Passaggio 2.3

Calcola $\sum_{k = 1}^{46} - \frac{5 k}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Metti in evidenza $- \frac{5}{4}$ nella sommatoria.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{46} k$

Passaggio 2.3.2

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{46 (46 + 1)}{2})$

Passaggio 2.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.1.1

Somma $46$ e $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{46 \cdot 47}{2}$

Passaggio 2.3.4.1.2

Moltiplica $46$ per $47$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{4}$ nel numeratore.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{2162}{2}$

Passaggio 2.3.4.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{2162}{2}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Scomponi $2$ da $2162$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Passaggio 2.3.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 1081}{2}$

Passaggio 2.3.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{1081}{2}$

Passaggio 2.3.4.3

Moltiplica $\frac{- 5}{2}$ per $\frac{1081}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 1081}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.4.4.1

Moltiplica $- 5$ per $1081$ .

$\frac{- 5405}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.3.4.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 5405}{4}$

Passaggio 2.3.4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5405}{4}$

Passaggio 2.4

Somma i risultati delle sommatorie.

$\frac{69}{2} - \frac{5405}{4}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per scrivere $\frac{69}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5405}{4}$

Passaggio 2.5.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Moltiplica $\frac{69}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{69 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{5405}{4}$

Passaggio 2.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{69 \cdot 2}{4} - \frac{5405}{4}$

Passaggio 2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{69 \cdot 2 - 5405}{4}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $69$ per $2$ .

$\frac{138 - 5405}{4}$

Passaggio 2.5.4.2

Sottrai $5405$ da $138$ .

$\frac{- 5267}{4}$

Passaggio 2.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{5267}{4}$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} - \frac{5 k}{4} = \sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4} + \sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$

Passaggio 3.2

Calcola $\sum_{k = 1}^{14} \frac{3}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 3.2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(\frac{3}{4}) (14)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{3}{2 (2)} \cdot 14$

Passaggio 3.2.3.1.2

Scomponi $2$ da $14$ .

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Passaggio 3.2.3.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 7)$

Passaggio 3.2.3.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} \cdot 7$

Passaggio 3.2.3.2

$\frac{3}{2}$ e $7$ .

$\frac{3 \cdot 7}{2}$

Passaggio 3.2.3.3

Moltiplica $3$ per $7$ .

$\frac{21}{2}$

Passaggio 3.3

Calcola $\sum_{k = 1}^{14} - \frac{5 k}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Metti in evidenza $- \frac{5}{4}$ nella sommatoria.

$(- \frac{5}{4}) \sum_{k = 1}^{14} k$

Passaggio 3.3.2

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- \frac{5}{4}) (\frac{14 (14 + 1)}{2})$

Passaggio 3.3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1.1

Somma $14$ e $1$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{14 \cdot 15}{2}$

Passaggio 3.3.4.1.2

Moltiplica $14$ per $15$ .

$- \frac{5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Passaggio 3.3.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{4}$ nel numeratore.

$\frac{- 5}{4} \cdot \frac{210}{2}$

Passaggio 3.3.4.2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{- 5}{2 (2)} \cdot \frac{210}{2}$

Passaggio 3.3.4.2.3

Scomponi $2$ da $210$ .

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Passaggio 3.3.4.2.4

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 5}{2 \cdot 2} \cdot \frac{2 \cdot 105}{2}$

Passaggio 3.3.4.2.5

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 5}{2} \cdot \frac{105}{2}$

Passaggio 3.3.4.3

Moltiplica $\frac{- 5}{2}$ per $\frac{105}{2}$ .

$\frac{- 5 \cdot 105}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.4.1

Moltiplica $- 5$ per $105$ .

$\frac{- 525}{2 \cdot 2}$

Passaggio 3.3.4.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{- 525}{4}$

Passaggio 3.3.4.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{525}{4}$

Passaggio 3.4

Somma i risultati delle sommatorie.

$\frac{21}{2} - \frac{525}{4}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Per scrivere $\frac{21}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{525}{4}$

Passaggio 3.5.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $\frac{21}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{525}{4}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{21 \cdot 2}{4} - \frac{525}{4}$

Passaggio 3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{21 \cdot 2 - 525}{4}$

Passaggio 3.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.4.1

Moltiplica $21$ per $2$ .

$\frac{42 - 525}{4}$

Passaggio 3.5.4.2

Sottrai $525$ da $42$ .

$\frac{- 483}{4}$

Passaggio 3.5.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{483}{4}$

Passaggio 4

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$- \frac{5267}{4} + \frac{483}{4}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 5267 + 483}{4}$

Passaggio 5.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma $- 5267$ e $483$ .

$\frac{- 4784}{4}$

Passaggio 5.2.2

Dividi $- 4784$ per $4$ .

$- 1196$