Precalcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{31} 300 + {(n - 1)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

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Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi ${(n - 1)}^{2}$ come $(n - 1) (n - 1)$ .

$300 + (n - 1) (n - 1)$

Passaggio 1.1.2

Espandi $(n - 1) (n - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$300 + n (n - 1) - 1 (n - 1)$

Passaggio 1.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 (n - 1)$

Passaggio 1.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$300 + n \cdot n + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1.1

Moltiplica $n$ per $n$ .

$300 + n^{2} + n \cdot - 1 - 1 n - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $n$ .

$300 + n^{2} - 1 \cdot n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3.1.3

Riscrivi $- 1 n$ come $- n$ .

$300 + n^{2} - n - 1 n - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3.1.4

Riscrivi $- 1 n$ come $- n$ .

$300 + n^{2} - n - n - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.1.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$300 + n^{2} - n - n + 1$

Passaggio 1.1.3.2

Sottrai $n$ da $- n$ .

$300 + n^{2} - 2 n + 1$

Passaggio 1.2

Somma $300$ e $1$ .

$n^{2} - 2 n + 301$

Passaggio 1.3

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 n + 301 = \sum_{n = 1}^{31} n^{2} - 2 \sum_{n = 1}^{31} n + \sum_{n = 1}^{31} 301$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{n = 1}^{31} n^{2}$ .

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Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$\frac{31 (31 + 1) (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1.1

Somma $31$ e $1$ .

$\frac{31 \cdot 32 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $31$ per $32$ .

$\frac{992 (2 \cdot 31 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $31$ .

$\frac{992 (62 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $62$ e $1$ .

$\frac{992 \cdot 63}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $992$ per $63$ .

$\frac{62496}{6}$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi $62496$ per $6$ .

$10416$

Passaggio 4

Calcola $2 \sum_{n = 1}^{31} n$ .

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Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 2) (\frac{31 (31 + 1)}{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Somma $31$ e $1$ .

$- 2 \frac{31 \cdot 32}{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $31$ per $32$ .

$- 2 (\frac{992}{2})$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{992}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 1 \frac{992}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 992$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 1$ per $992$ .

$- 992$

Passaggio 5

Calcola $\sum_{n = 1}^{31} 301$ .

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Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(301) (31)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $301$ per $31$ .

$9331$

Passaggio 6

Somma i risultati delle sommatorie.

$10416 - 992 + 9331$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Sottrai $992$ da $10416$ .

$9424 + 9331$

Passaggio 7.2

Somma $9424$ e $9331$ .

$18755$