Precalcolo Esempi

$\sum_{n = 0}^{50} 5 {(\frac{3}{5})}^{n}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{5 {(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{5 {(\frac{3}{5})}^{n}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n + 1}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ e ${(\frac{3}{5})}^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{3}{5})}^{n}$ da ${(\frac{3}{5})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{3}{5})}^{n} \frac{3}{5}}{{(\frac{3}{5})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{3}{5}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi $\frac{3}{5}$ per $1$ .

$r = \frac{3}{5}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $n$ con $0$ in $5 {(\frac{3}{5})}^{n}$ .

$a = 5 {(\frac{3}{5})}^{0}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{5}$ .

$a = 5 \frac{3^{0}}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 5 \frac{1}{5^{0}}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.4

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 5 \cdot 1$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$a = 5$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$5 \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}}$ per $\frac{5}{5}$ .

$5 (\frac{5}{5} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{5})}^{51}}{1 - \frac{3}{5}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$5 \frac{5 (1 - {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 (1 - \frac{3}{5})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (- \frac{3}{5})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{5}$ nel numeratore.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 + 5 (\frac{- 3}{5})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{5 \cdot 1 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 \frac{5 + 5 (- {(\frac{3}{5})}^{51})}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{5}$ .

$5 \frac{5 + 5 (- \frac{3^{51}}{5^{51}})}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3^{51}}{5^{51}}$ nel numeratore.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5^{51}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $5$ da $5^{51}$ .

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{5 + 5 \frac{- 3^{51}}{5 \cdot 5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{5 + \frac{- 3^{51}}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.4

Eleva $3$ alla potenza di $51$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 1 \cdot 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.5

Moltiplica $- 1$ per $2153693963075560000000000$ .

$5 \frac{5 + \frac{- 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \frac{5 - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.7

Per scrivere $5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{5 \cdot \frac{5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.8

$5$ e $\frac{5^{50}}{5^{50}}$ .

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50}}{5^{50}} - \frac{2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{\frac{5 \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.10

Moltiplica $5$ per $5^{50}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.4.10.1

Moltiplica $5$ per $5^{50}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.10.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{1} \cdot 5^{50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 \frac{\frac{5^{1 + 50} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.4.10.2

Somma $1$ e $50$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{5 - 3}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $3$ da $5$ .

$5 \frac{\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}}{2}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$5 (\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 5.7

Moltiplica $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{5^{50} \cdot 2}$

Passaggio 5.8

Sposta $2$ alla sinistra di $5^{50}$ .

$5 \frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$

Passaggio 5.9

$5$ e $\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{50}}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{2 \cdot 5^{50}}$

Passaggio 5.10

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Scomponi $5$ da $2 \cdot 5^{50}$ .

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Passaggio 5.10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (5^{51} - 2153693963075560000000000)}{5 (2 \cdot 5^{49})}$

Passaggio 5.10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5^{51} - 2153693963075560000000000}{2 \cdot 5^{49}}$

Forma decimale:

$12.49999999 \dots$