Precalcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{1}{3} n$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

$n$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 - \frac{n}{3}$

Passaggio 1.2

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3}$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{n = 1}^{120} 4 - \frac{n}{3} = \sum_{n = 1}^{120} 4 + \sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{n = 1}^{120} 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(4) (120)$

Passaggio 3.3

Moltiplica $4$ per $120$ .

$480$

Passaggio 4

Calcola $\sum_{n = 1}^{120} - \frac{n}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Metti in evidenza $- \frac{1}{3}$ nella sommatoria.

$(- \frac{1}{3}) \sum_{n = 1}^{120} n$

Passaggio 4.2

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.3

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- \frac{1}{3}) (\frac{120 (120 + 1)}{2})$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Somma $120$ e $1$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{120 \cdot 121}{2}$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica $120$ per $121$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

Passaggio 4.4.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{14520}{2}$

Passaggio 4.4.2.2

Scomponi $3$ da $14520$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 (4840)}{2}$

Passaggio 4.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{3} \cdot \frac{3 \cdot 4840}{2}$

Passaggio 4.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 1 (\frac{4840}{2})$

Passaggio 4.4.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.3.1

Dividi $4840$ per $2$ .

$- 1 \cdot 2420$

Passaggio 4.4.3.2

Moltiplica $- 1$ per $2420$ .

$- 2420$

Passaggio 5

Somma i risultati delle sommatorie.

$480 - 2420$

Passaggio 6

Sottrai $2420$ da $480$ .

$- 1940$