Precalcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{108} {(- 1)}^{n}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{{(- 1)}^{n}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di ${(- 1)}^{n + 1}$ e ${(- 1)}^{n}$ .

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Passaggio 2.2.1

Scomponi ${(- 1)}^{n}$ da ${(- 1)}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- 1)}^{n} \cdot - 1}{{(- 1)}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$r = - 1$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.1

Sostituisci $n$ con $1$ in ${(- 1)}^{n}$ .

$a = {(- 1)}^{1}$

Passaggio 3.2

Calcola l'esponente.

$a = - 1$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{108}}{1 - - 1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{108}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{108}$ .

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Passaggio 5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{108}}{1 - - 1}$

Passaggio 5.1.1.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 108}}{1 - - 1}$

Passaggio 5.1.1.2

Somma $1$ e $108$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{109}}{1 - - 1}$

Passaggio 5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $109$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Passaggio 5.1.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Passaggio 5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Passaggio 5.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Passaggio 5.3

Dividi $0$ per $2$ .

$- 0$

Passaggio 5.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$