Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + {(- 3)}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4} + \sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{11} \frac{1}{4}$ .

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Passaggio 2.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(\frac{1}{4}) (11)$

Passaggio 2.3

$\frac{1}{4}$ e $11$ .

$\frac{11}{4}$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{11} {(- 3)}^{k - 1}$ .

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Passaggio 3.1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 3.2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

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Passaggio 3.2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 1 - 1}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ e ${(- 3)}^{k - 1}$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Scomponi ${(- 3)}^{k - 1}$ da ${(- 3)}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1}}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- 3)}^{k - 1} {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(- 3)}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Passaggio 3.2.2.1.2.4

Dividi ${(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$ per $1$ .

$r = {(- 3)}^{k + 0 - (k - 1)}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $k$ e $0$ .

$r = {(- 3)}^{k - (k - 1)}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(- 3)}^{k - k - - 1}$

Passaggio 3.2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(- 3)}^{k - k + 1}$

Passaggio 3.2.2.4

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = {(- 3)}^{0 + 1}$

Passaggio 3.2.2.5

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(- 3)}^{1}$

Passaggio 3.2.2.6

Calcola l'esponente.

$r = - 3$

Passaggio 3.3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci $k$ con $1$ in ${(- 3)}^{k - 1}$ .

$a = {(- 3)}^{1 - 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = {(- 3)}^{0}$

Passaggio 3.3.2.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$1 \frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$ per $1$ .

$\frac{1 - {(- 3)}^{11}}{1 - - 3}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.2.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $11$ .

$\frac{1 - - 177147}{1 - - 3}$

Passaggio 3.5.2.2

Moltiplica $- 1$ per $- 177147$ .

$\frac{1 + 177147}{1 - - 3}$

Passaggio 3.5.2.3

Somma $1$ e $177147$ .

$\frac{177148}{1 - - 3}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{177148}{1 + 3}$

Passaggio 3.5.3.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{177148}{4}$

Passaggio 3.5.4

Dividi $177148$ per $4$ .

$44287$

Passaggio 4

Somma i risultati delle sommatorie.

$\frac{11}{4} + 44287$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Per scrivere $44287$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + 44287 \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 5.2

$44287$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{11}{4} + \frac{44287 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{11 + 44287 \cdot 4}{4}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.1

Moltiplica $44287$ per $4$ .

$\frac{11 + 177148}{4}$

Passaggio 5.4.2

Somma $11$ e $177148$ .

$\frac{177159}{4}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{177159}{4}$

Forma decimale:

$44289.75$

Forma numero misto:

$44289 \frac{3}{4}$