Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{100} 9 + {(\frac{1}{2})}^{k - 1} = \sum_{k = 1}^{100} 9 + \sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{100} 9$ .

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Passaggio 2.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(9) (100)$

Passaggio 2.3

Moltiplica $9$ per $100$ .

$900$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{100} {(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

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Passaggio 3.1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 3.2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

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Passaggio 3.2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Passaggio 3.2.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ e ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Scomponi ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ da ${(\frac{1}{2})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1}}$

Passaggio 3.2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Passaggio 3.2.2.1.2.4

Dividi ${(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Passaggio 3.2.2.2

Somma $k$ e $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - (k - 1)}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k - - 1}$

Passaggio 3.2.2.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{k - k + 1}$

Passaggio 3.2.2.4

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

Passaggio 3.2.2.5

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

Passaggio 3.2.2.6

Semplifica.

$r = \frac{1}{2}$

Passaggio 3.3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci $k$ con $1$ in ${(\frac{1}{2})}^{k - 1}$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = {(\frac{1}{2})}^{0}$

Passaggio 3.3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$a = \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Passaggio 3.3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{2^{0}}$

Passaggio 3.3.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Passaggio 3.3.2.5

Dividi $1$ per $1$ .

$a = 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$1 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5.2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{100}}{1 - \frac{1}{2}}$

Passaggio 3.5.2.2

Combina.

$\frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Passaggio 3.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 3.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Passaggio 3.5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Passaggio 3.5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{100})}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 + 2 (- \frac{1^{100}}{2^{100}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.5.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{100}}{2^{100}}$ nel numeratore.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2^{100}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.3.2

Scomponi $2$ da $2^{100}$ .

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 + 2 \frac{- 1^{100}}{2 \cdot 2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2 + \frac{- 1^{100}}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 + \frac{- 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{2 - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.7

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{2 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.8

$2$ e $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99}}{2^{99}} - \frac{1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\frac{2 \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.10

Moltiplica $2$ per $2^{99}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.5.10.1

Moltiplica $2$ per $2^{99}$ .

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Passaggio 3.5.5.10.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\frac{2^{1} \cdot 2^{99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.10.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\frac{2^{1 + 99} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.5.10.2

Somma $1$ e $99$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 3.5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.6.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{2 - 1}$

Passaggio 3.5.6.2

Sottrai $1$ da $2$ .

$\frac{\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}}{1}$

Passaggio 3.5.7

Dividi $\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$ per $1$ .

$\frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Passaggio 4

Somma i risultati delle sommatorie.

$900 + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Per scrivere $900$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$900 \cdot \frac{2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Passaggio 5.2

$900$ e $\frac{2^{99}}{2^{99}}$ .

$\frac{900 \cdot 2^{99}}{2^{99}} + \frac{2^{100} - 1}{2^{99}}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{900 \cdot 2^{99} + 2^{100} - 1}{2^{99}}$

Forma decimale:

$902$