Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{10} 1 + {(- 1)}^{k} = \sum_{k = 1}^{10} 1 + \sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{10} 1$ .

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Passaggio 2.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(1) (10)$

Passaggio 2.3

Moltiplica $10$ per $1$ .

$10$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{10} {(- 1)}^{k}$ .

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Passaggio 3.1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 3.2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

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Passaggio 3.2.1

Nella formula della variabile $r$ , sostituisci $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{{(- 1)}^{k}}$

Passaggio 3.2.2

Elimina il fattore comune di ${(- 1)}^{k + 1}$ e ${(- 1)}^{k}$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Scomponi ${(- 1)}^{k}$ da ${(- 1)}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k}}$

Passaggio 3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} \cdot - 1}{{(- 1)}^{k} \cdot 1}$

Passaggio 3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$r = - 1$

Passaggio 3.3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.3.1

Sostituisci $1$ a $k$ in ${(- 1)}^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1}$

Passaggio 3.3.2

Calcola l'esponente.

$a = - 1$

Passaggio 3.4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$- \frac{1 - {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Passaggio 3.5

Semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{10}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{10}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{10}}{1 - - 1}$

Passaggio 3.5.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{1 + {(- 1)}^{1 + 10}}{1 - - 1}$

Passaggio 3.5.1.1.2

Somma $1$ e $10$ .

$- \frac{1 + {(- 1)}^{11}}{1 - - 1}$

Passaggio 3.5.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $11$ .

$- \frac{1 - 1}{1 - - 1}$

Passaggio 3.5.1.3

Sottrai $1$ da $1$ .

$- \frac{0}{1 - - 1}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{0}{1 + 1}$

Passaggio 3.5.2.2

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{0}{2}$

Passaggio 3.5.3

Dividi $0$ per $2$ .

$- 0$

Passaggio 3.5.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0$

Passaggio 4

Somma i risultati delle sommatorie.

$10 + 0$

Passaggio 5

Somma $10$ e $0$ .

$10$