Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{6} 5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{5 {(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ e ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ da ${(\frac{9}{4})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{9}{4})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $k$ e $0$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{k - k + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{9}{4})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = \frac{9}{4}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $k$ con $1$ in $5 {(\frac{9}{4})}^{k - 1}$ .

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{1 - 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 5 {(\frac{9}{4})}^{0}$

Passaggio 3.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{4}$ .

$a = 5 \frac{9^{0}}{4^{0}}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 5 \frac{1}{4^{0}}$

Passaggio 3.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$a = 5 (\frac{1}{1})$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 5 \cdot 1$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $5$ per $1$ .

$a = 5$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$5 \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}}$ per $\frac{4}{4}$ .

$5 (\frac{4}{4} \cdot \frac{1 - {(\frac{9}{4})}^{6}}{1 - \frac{9}{4}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$5 \frac{4 (1 - {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 (1 - \frac{9}{4})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (- \frac{9}{4})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9}{4}$ nel numeratore.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 + 4 (\frac{- 9}{4})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{4 \cdot 1 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 \frac{4 + 4 (- {(\frac{9}{4})}^{6})}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{4}$ .

$5 \frac{4 + 4 (- \frac{9^{6}}{4^{6}})}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{9^{6}}{4^{6}}$ nel numeratore.

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4^{6}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $4$ da $4^{6}$ .

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{4 + 4 \frac{- 9^{6}}{4 \cdot 4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$5 \frac{4 + \frac{- 9^{6}}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.4

Eleva $9$ alla potenza di $6$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{4^{5}}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $4$ alla potenza di $5$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 1 \cdot 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $531441$ .

$5 \frac{4 + \frac{- 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \frac{4 - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1024}{1024}$ .

$5 \frac{4 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.9

$4$ e $\frac{1024}{1024}$ .

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024}{1024} - \frac{531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$5 \frac{\frac{4 \cdot 1024 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $4$ per $1024$ .

$5 \frac{\frac{4096 - 531441}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $531441$ da $4096$ .

$5 \frac{\frac{- 527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 \cdot 1 - 9}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{4 - 9}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $9$ da $4$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{- 5}$

Passaggio 5.6

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $5$ da $- 5$ .

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 (- 1)}$

Passaggio 5.6.2

Elimina il fattore comune.

$5 \frac{- \frac{527345}{1024}}{5 \cdot - 1}$

Passaggio 5.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \frac{527345}{1024}}{- 1}$

Passaggio 5.7

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{527345}{1024}}{1}$

Passaggio 5.8

Dividi $\frac{527345}{1024}$ per $1$ .

$\frac{527345}{1024}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{527345}{1024}$

Forma decimale:

$514.98535156 \dots$

Forma numero misto:

$514 \frac{1009}{1024}$