Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{200} {(2 k - 3)}^{2}$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi ${(2 k - 3)}^{2}$ come $(2 k - 3) (2 k - 3)$ .

$(2 k - 3) (2 k - 3)$

Passaggio 1.2

Espandi $(2 k - 3) (2 k - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 k (2 k - 3) - 3 (2 k - 3)$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k - 3)$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 k (2 k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \cdot 2 k \cdot k + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $k$ per $k$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.2.1

Sposta $k$ .

$2 \cdot 2 (k \cdot k) + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3.1.2.2

Moltiplica $k$ per $k$ .

$2 \cdot 2 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 k^{2} + 2 k \cdot - 3 - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3.1.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$4 k^{2} - 6 k - 3 (2 k) - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3.1.5

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k - 3 \cdot - 3$

Passaggio 1.3.1.6

Moltiplica $- 3$ per $- 3$ .

$4 k^{2} - 6 k - 6 k + 9$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $6 k$ da $- 6 k$ .

$4 k^{2} - 12 k + 9$

Passaggio 1.4

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{200} 4 k^{2} - 12 k + 9 = 4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2} - 12 \sum_{k = 1}^{200} k + \sum_{k = 1}^{200} 9$

Passaggio 3

Calcola $4 \sum_{k = 1}^{200} k^{2}$ .

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Passaggio 3.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $2$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(4) (\frac{200 (200 + 1) (2 \cdot 200 + 1)}{6})$

Passaggio 3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.1

Somma $200$ e $1$ .

$4 \frac{200 \cdot 201 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $200$ per $201$ .

$4 \frac{40200 (2 \cdot 200 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $2$ per $200$ .

$4 \frac{40200 (400 + 1)}{6}$

Passaggio 3.3.1.3

Somma $400$ e $1$ .

$4 \frac{40200 \cdot 401}{6}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $40200$ per $401$ .

$4 (\frac{16120200}{6})$

Passaggio 3.3.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 (2) \frac{16120200}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 2 \frac{16120200}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{16120200}{3})$

Passaggio 3.3.2.3

$2$ e $\frac{16120200}{3}$ .

$\frac{2 \cdot 16120200}{3}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $2$ per $16120200$ .

$\frac{32240400}{3}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Dividi $32240400$ per $3$ .

$10746800$

Passaggio 4

Calcola $12 \sum_{k = 1}^{200} k$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- 12) (\frac{200 (200 + 1)}{2})$

Passaggio 4.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Somma $200$ e $1$ .

$- 12 \frac{200 \cdot 201}{2}$

Passaggio 4.3.1.2

Moltiplica $200$ per $201$ .

$- 12 (\frac{40200}{2})$

Passaggio 4.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Scomponi $2$ da $- 12$ .

$2 (- 6) \frac{40200}{2}$

Passaggio 4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot - 6 \frac{40200}{2}$

Passaggio 4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 6 \cdot 40200$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $- 6$ per $40200$ .

$- 241200$

Passaggio 5

Calcola $\sum_{k = 1}^{200} 9$ .

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Passaggio 5.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(9) (200)$

Passaggio 5.3

Moltiplica $9$ per $200$ .

$1800$

Passaggio 6

Somma i risultati delle sommatorie.

$10746800 - 241200 + 1800$

Passaggio 7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sottrai $241200$ da $10746800$ .

$10505600 + 1800$

Passaggio 7.2

Somma $10505600$ e $1800$ .

$10507400$