Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{\infty} 3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{3 {(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ e ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi ${(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ da ${(\frac{2}{3})}^{k + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1}}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{{(\frac{2}{3})}^{k - 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{{(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.2.2.4

Dividi ${(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$ per $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k + 0 - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.3

Somma $k$ e $0$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - (k - 1)}$

Passaggio 2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k - - 1}$

Passaggio 2.2.4.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{k - k + 1}$

Passaggio 2.2.5

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{0 + 1}$

Passaggio 2.2.6

Somma $0$ e $1$ .

$r = {(\frac{2}{3})}^{1}$

Passaggio 2.2.7

Semplifica.

$r = \frac{2}{3}$

Passaggio 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $k$ con $1$ in $3 {(\frac{2}{3})}^{k - 1}$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{1 - 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$a = 3 {(\frac{2}{3})}^{0}$

Passaggio 4.2.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{2}{3}$ .

$a = 3 \frac{2^{0}}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 3 \frac{1}{3^{0}}$

Passaggio 4.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.2.5

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$a = 3 (\frac{1}{1})$

Passaggio 4.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$a = 3 \cdot 1$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica $3$ per $1$ .

$a = 3$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{3}{1 - \frac{2}{3}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{3}{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}$

Passaggio 6.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{\frac{3 - 2}{3}}$

Passaggio 6.1.3

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{3}{\frac{1}{3}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$3 \cdot 3$

Passaggio 6.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9$