Precalcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{7}{8^{k}}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica infinita può essere calcolata usando la formula $\frac{a}{1 - r}$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{\frac{7}{8^{k + 1}}}{\frac{7}{8^{k}}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$r = \frac{7}{8^{k + 1}} \cdot \frac{8^{k}}{7}$

Passaggio 2.2.2

Combina.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Passaggio 2.2.3

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{7 \cdot 8^{k}}{8^{k + 1} \cdot 7}$

Passaggio 2.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{8^{k}}{8^{k + 1}}$

Passaggio 2.2.4

Elimina il fattore comune di $8^{k}$ e $8^{k + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Scomponi $8^{k + 1}$ da $8^{k}$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1}}$

Passaggio 2.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{8^{k + 1} \cdot 8^{k - (k + 1)}}{8^{k + 1} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{8^{k - (k + 1)}}{1}$

Passaggio 2.2.4.2.4

Dividi $8^{k - (k + 1)}$ per $1$ .

$r = 8^{k - (k + 1)}$

Passaggio 2.2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = 8^{k - k - 1 \cdot 1}$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$r = 8^{k - k - 1}$

Passaggio 2.2.6

Sottrai $k$ da $k$ .

$r = 8^{0 - 1}$

Passaggio 2.2.7

Sottrai $1$ da $0$ .

$r = 8^{- 1}$

Passaggio 2.2.8

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$r = \frac{1}{8}$

Passaggio 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Passaggio 4

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $k$ con $1$ in $\frac{7}{8^{k}}$ .

$a = \frac{7}{8^{1}}$

Passaggio 4.2

Calcola l'esponente.

$a = \frac{7}{8}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori del rapporto e del primo termine nella formula della somma.

$\frac{\frac{7}{8}}{1 - \frac{1}{8}}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{8}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8}{8} - \frac{1}{8}}$

Passaggio 6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{8 - 1}{8}}$

Passaggio 6.2.3

Sottrai $1$ da $8$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{1}{\frac{7}{8}}$

Passaggio 6.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{7}{8} (1 (\frac{8}{7}))$

Passaggio 6.4

Moltiplica $\frac{8}{7}$ per $1$ .

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Passaggio 6.5

Elimina il fattore comune di $7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{7}{8} \cdot \frac{8}{7}$

Passaggio 6.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Passaggio 6.6

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{8} \cdot 8$

Passaggio 6.6.2

Riscrivi l'espressione.

$1$