Precalcolo Esempi

$\sum_{n = 1}^{8} {(\frac{1}{9})}^{n}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{9})}^{n + 1}}{{(\frac{1}{9})}^{n}}$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{1}{9})}^{n + 1}$ e ${(\frac{1}{9})}^{n}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi ${(\frac{1}{9})}^{n}$ da ${(\frac{1}{9})}^{n + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{9})}^{n} \frac{1}{9}}{{(\frac{1}{9})}^{n}}$

Passaggio 2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{9})}^{n} \frac{1}{9}}{{(\frac{1}{9})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{1}{9})}^{n} \frac{1}{9}}{{(\frac{1}{9})}^{n} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{1}{9}}{1}$

Passaggio 2.2.2.4

Dividi $\frac{1}{9}$ per $1$ .

$r = \frac{1}{9}$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $n$ con $1$ in ${(\frac{1}{9})}^{n}$ .

$a = {(\frac{1}{9})}^{1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

$a = \frac{1}{9}$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{9})}^{8}}{1 - \frac{1}{9}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{1}{9})}^{8}}{1 - \frac{1}{9}}$ per $\frac{9}{9}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{9}{9} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{9})}^{8}}{1 - \frac{1}{9}})$

Passaggio 5.1.2

Combina.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 (1 - {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 (1 - \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 1 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 + 9 (- \frac{1}{9})}$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{9}$ nel numeratore.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 1 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 + 9 (\frac{- 1}{9})}$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 1 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 + 9 (\frac{- 1}{9})}$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot 1 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 (- {(\frac{1}{9})}^{8})}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 (- \frac{1^{8}}{9^{8}})}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1^{8}}{9^{8}}$ nel numeratore.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 \frac{- 1^{8}}{9^{8}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.2

Scomponi $9$ da $9^{8}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 \frac{- 1^{8}}{9 \cdot 9^{7}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + 9 \frac{- 1^{8}}{9 \cdot 9^{7}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + \frac{- 1^{8}}{9^{7}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + \frac{- 1 \cdot 1}{9^{7}}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.5

Eleva $9$ alla potenza di $7$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + \frac{- 1 \cdot 1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 + \frac{- 1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 - \frac{1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.8

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4782969}{4782969}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{9 \cdot \frac{4782969}{4782969} - \frac{1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.9

$9$ e $\frac{4782969}{4782969}$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{9 \cdot 4782969}{4782969} - \frac{1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{9 \cdot 4782969 - 1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.11.1

Moltiplica $9$ per $4782969$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{43046721 - 1}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.4.11.2

Sottrai $1$ da $43046721$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{43046720}{4782969}}{9 \cdot 1 - 1}$

Passaggio 5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Moltiplica $9$ per $1$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{43046720}{4782969}}{9 - 1}$

Passaggio 5.5.2

Sottrai $1$ da $9$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{\frac{43046720}{4782969}}{8}$

Passaggio 5.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{9} (\frac{43046720}{4782969} \cdot \frac{1}{8})$

Passaggio 5.7

Elimina il fattore comune di $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Scomponi $8$ da $43046720$ .

$\frac{1}{9} (\frac{8 (5380840)}{4782969} \cdot \frac{1}{8})$

Passaggio 5.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{9} (\frac{8 \cdot 5380840}{4782969} \cdot \frac{1}{8})$

Passaggio 5.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{9} \cdot \frac{5380840}{4782969}$

Passaggio 5.8

Moltiplica $\frac{1}{9} \cdot \frac{5380840}{4782969}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Moltiplica $\frac{1}{9}$ per $\frac{5380840}{4782969}$ .

$\frac{5380840}{9 \cdot 4782969}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $9$ per $4782969$ .

$\frac{5380840}{43046721}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{5380840}{43046721}$

Forma decimale:

$0.12499999 \dots$