Precalcolo Esempi

$lim_{x \to 8} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ come $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Passaggio 2.2

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Passaggio 2.3

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x + 1}{x - 1})}$

Passaggio 2.4

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Passaggio 2.6

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Passaggio 2.7

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Passaggio 2.8

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $8$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + 1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 3.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $8$ per $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8 - 1 \cdot 1})}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Semplifica $8 \cdot \ln (\frac{8 + 1}{8 - 1 \cdot 1})$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8 + 1}{8 - 1 \cdot 1})}^{8})}$

Passaggio 4.2

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

${(\frac{8 + 1}{8 - 1 \cdot 1})}^{8}$

Passaggio 4.3

Somma $8$ e $1$ .

${(\frac{9}{8 - 1 \cdot 1})}^{8}$

Passaggio 4.4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.4.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

${(\frac{9}{8 - 1})}^{8}$

Passaggio 4.4.2

Sottrai $1$ da $8$ .

${(\frac{9}{7})}^{8}$

Passaggio 4.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{9}{7}$ .

$\frac{9^{8}}{7^{8}}$

Passaggio 4.6

Eleva $9$ alla potenza di $8$ .

$\frac{43046721}{7^{8}}$

Passaggio 4.7

Eleva $7$ alla potenza di $8$ .

$\frac{43046721}{5764801}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{43046721}{5764801}$

Forma decimale:

$7.46716512 \dots$