Precalcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{(\frac{1}{6 - x}) - (\frac{1}{6})}{x}$

Passaggio 1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per scrivere $\frac{1}{6 - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6 - x} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{6})}{x}$

Passaggio 1.2

Per scrivere $- (\frac{1}{6})$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{6 - x} \cdot \frac{6}{6} - (\frac{1}{6}) \cdot \frac{6 - x}{6 - x}}{x}$

Passaggio 1.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(6 - x) \cdot 6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{1}{6 - x}$ per $\frac{6}{6}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(6 - x) \cdot 6} - (\frac{1}{6}) \cdot \frac{6 - x}{6 - x}}{x}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{6 - x}{6 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{(6 - x) \cdot 6} - \frac{6 - x}{6 (6 - x)}}{x}$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $(6 - x) \cdot 6$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{6 (6 - x)} - \frac{6 - x}{6 (6 - x)}}{x}$

Passaggio 1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)}}{x}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica l'argomento del limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)} \cdot \frac{1}{x}$

Passaggio 2.1.2

Moltiplica $\frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x)}$ per $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{6 (6 - x) x}$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $\frac{1}{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{(6 - x) x}$

Passaggio 3

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 3.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 6 - (6 - x)}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Passaggio 3.1.2

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Calcola il limite di $6 - (6 - x)$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - (6 + 0)}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 1 \cdot 6}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $- 1$ per $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{6 - 6}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Passaggio 3.1.2.3

Sottrai $6$ da $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (6 - x) x}$

Passaggio 3.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 3.1.3.1

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} 6 - x \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} 6 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3.3

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 - lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 + 0) \cdot lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 3.1.3.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{(6 + 0) \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.5.1

Somma $6$ e $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{6 \cdot 0}$

Passaggio 3.1.3.5.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.5.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.3.6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 3.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{6 - (6 - x)}{(6 - x) x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6 - (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 - (6 - x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (6 - x)]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- (6 - x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- (6 - x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [6 - x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [6 - x]}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.4.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.4.3

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.4.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.4.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - 1 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.4.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 - 1)}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.4.7

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.4.8

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{0 + 1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [(6 - x) x]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola del prodotto, che indica che $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = 6 - x$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{(6 - x) \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{(6 - x) \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $6 - x$ per $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \frac{d}{d x} [6 - x]}$

Passaggio 3.3.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [- x])}$

Passaggio 3.3.10

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x (0 + \frac{d}{d x} [- x])}$

Passaggio 3.3.11

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \frac{d}{d x} [- x]}$

Passaggio 3.3.12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1 \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 3.3.13

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.14

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x + x \cdot - 1}$

Passaggio 3.3.15

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x - 1 \cdot x}$

Passaggio 3.3.16

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - x - x}$

Passaggio 3.3.17

Sottrai $x$ da $- x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{6 - 2 x}$

Passaggio 3.3.18

Riordina i termini.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{- 2 x + 6}$

Passaggio 4

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 6}$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} - 2 x + 6}$

Passaggio 4.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 6}$

Passaggio 4.4

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 6}$

Passaggio 4.5

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 lim_{x \to 0} x + 6}$

Passaggio 5

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{- 2 \cdot 0 + 6}$

Passaggio 6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{0 + 6}$

Passaggio 6.1.2

Somma $0$ e $6$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{6}$ per $\frac{1}{6}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 6}$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $6$ per $6$ .

$\frac{1}{36}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{36}$

Forma decimale:

$0.02\overline{7}$