Precalcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} {(2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.2

Sposta l'esponente $2$ da ${(2 + x)}^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} 2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.4

Calcola il limite di $2$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.1.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{{(2 + lim_{x \to 0} x)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{{(2 + 0)}^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.3.1.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2^{2} - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.2.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{{(2 + x)}^{2} - 4}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(2 + x)}^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.2

Riscrivi ${(2 + x)}^{2}$ come $(2 + x) (2 + x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [(2 + x) (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3

Espandi $(2 + x) (2 + x)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.3.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 (2 + x) + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x (2 + x) - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cdot 2 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + x \cdot 2 + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 \cdot x + x \cdot x - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.1.3

Moltiplica $x$ per $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 2 x + 2 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Somma $2 x$ e $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 + 4 x + x^{2} - 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 + 4 x + x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.6

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Passaggio 1.3.7.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.7.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10

Semplifica.

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Passaggio 1.3.10.1

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.10.1.1

Somma $0$ e $4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10.1.2

Somma $4 + 2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 + 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.10.2

Riordina i termini.

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.11

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + 4}{1}$

Passaggio 1.4

Dividi $2 x + 4$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x + 4$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 4$

Passaggio 2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4$

Passaggio 2.3

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x + 4$

Passaggio 3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$2 \cdot 0 + 4$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $2$ per $0$ .

$0 + 4$

Passaggio 4.2

Somma $0$ e $4$ .

$4$