Precalcolo Esempi

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{3 x \sin (2 x)}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \cos (2 x)}{x \sin (2 x)}$

Passaggio 2

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Passaggio 3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Passaggio 5

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Passaggio 6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \sin (2 x)}$

Passaggio 7

Dividi il numero usando la regola del prodotto di limiti quando $x$ tende a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (2 x)}$

Passaggio 8

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Passaggio 9

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 10

Calcola il limite inserendo $\frac{π}{4}$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 10.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Passaggio 10.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $\frac{π}{4}$ per $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{4})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 11

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 (2)})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 11.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 11.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 11.1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 11.1.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 + 0}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 11.1.4

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4} \cdot \sin (2 \frac{π}{4})}$

Passaggio 11.2

$\frac{π}{4}$ e $\sin (2 \frac{π}{4})$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{4})}{4}}$

Passaggio 11.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 (2)})}{4}}$

Passaggio 11.3.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}{4}}$

Passaggio 11.3.1.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \sin (\frac{π}{2})}{4}}$

Passaggio 11.3.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π \cdot 1}{4}}$

Passaggio 11.4

Moltiplica $π$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\frac{π}{4}}$

Passaggio 11.5

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} (1 \frac{4}{π})$

Passaggio 11.6

Moltiplica $\frac{4}{π}$ per $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{π}$

Passaggio 11.7

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{3 π}$

Passaggio 12

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{4}{3 π}$

Forma decimale:

$0.42441318 \dots$