Precalcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{4}}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0^{2} - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 1.1.2.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1.2.5.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0 - 2 \cdot 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{4}}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1.3.1

Sposta l'esponente $4$ da $x^{4}$ fuori dal limite usando la regola di potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{4}}$

Passaggio 1.1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{0}{0^{4}}$

Passaggio 1.1.3.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2} - 2 x}{x^{4}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Passaggio 1.3.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2}{\frac{d}{d x} [x^{4}]}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x - 2}{4 x^{3}}$

Passaggio 1.4

Elimina il fattore comune di $2 x - 2$ e $4$ .

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Passaggio 1.4.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x) - 2}{4 x^{3}}$

Passaggio 1.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x) + 2 (- 1)}{4 x^{3}}$

Passaggio 1.4.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{4 x^{3}}$

Passaggio 1.4.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.4.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{2 (2 x^{3})}$

Passaggio 1.4.4.2

Elimina il fattore comune.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (x - 1)}{2 (2 x^{3})}$

Passaggio 1.4.4.3

Riscrivi l'espressione.

$lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{2 x^{3}}$

Passaggio 2

Poiché la funzione tende a $\infty$ da sinistra e a $- \infty$ da destra, il limite non esiste.

$Non esiste$