Precalcolo Esempi

$\sum_{i = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Passaggio 1

Dividi la sommatoria per rendere il valore iniziale di $i$ uguale a $1$ .

$\sum_{k = 0}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} + \sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$

Passaggio 2

Calcola $\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{8} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i} = \sum_{k = 1}^{8} 256 + \sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$

Passaggio 2.2

Calcola $\sum_{k = 1}^{8} 256$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 2.2.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(256) (8)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $256$ per $8$ .

$2048$

Passaggio 2.3

Calcola $\sum_{k = 1}^{8} {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2.3.2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i + 1}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Passaggio 2.3.2.2

Elimina il fattore comune di ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ e ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.1

Scomponi ${(\frac{3}{2})}^{i}$ da ${(\frac{3}{2})}^{i + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i}}$

Passaggio 2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{{(\frac{3}{2})}^{i} \frac{3}{2}}{{(\frac{3}{2})}^{i} \cdot 1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{\frac{3}{2}}{1}$

Passaggio 2.3.2.2.2.4

Dividi $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$r = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Sostituisci $i$ con $1$ in ${(\frac{3}{2})}^{i}$ .

$a = {(\frac{3}{2})}^{1}$

Passaggio 2.3.3.2

Semplifica.

$a = \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3.4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$

Passaggio 2.3.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1.1

Moltiplica $\frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{3}{2})}^{8}}{1 - \frac{3}{2}})$

Passaggio 2.3.5.1.2

Combina.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 (1 - {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 (1 - \frac{3}{2})}$

Passaggio 2.3.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{3}{2})}$

Passaggio 2.3.5.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Passaggio 2.3.5.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 3}{2})}$

Passaggio 2.3.5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- {(\frac{3}{2})}^{8})}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 (- \frac{3^{8}}{2^{8}})}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3^{8}}{2^{8}}$ nel numeratore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2^{8}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.3.2

Scomponi $2$ da $2^{8}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.3.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + 2 \frac{- 3^{8}}{2 \cdot 2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.3.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 3^{8}}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.4

Eleva $3$ alla potenza di $8$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{2^{7}}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.5

Eleva $2$ alla potenza di $7$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.6

Moltiplica $- 1$ per $6561$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 + \frac{- 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.8

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 \cdot \frac{128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.9

$2$ e $\frac{128}{128}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128}{128} - \frac{6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{2 \cdot 128 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.11

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.4.11.1

Moltiplica $2$ per $128$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{256 - 6561}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.11.2

Sottrai $6561$ da $256$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{- 6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.4.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 \cdot 1 - 3}$

Passaggio 2.3.5.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.5.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{2 - 3}$

Passaggio 2.3.5.5.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{- \frac{6305}{128}}{- 1}$

Passaggio 2.3.5.6

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{\frac{6305}{128}}{1}$

Passaggio 2.3.5.7

Dividi $\frac{6305}{128}$ per $1$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$

Passaggio 2.3.5.8

Moltiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{6305}{128}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.8.1

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $\frac{6305}{128}$ .

$\frac{3 \cdot 6305}{2 \cdot 128}$

Passaggio 2.3.5.8.2

Moltiplica $3$ per $6305$ .

$\frac{18915}{2 \cdot 128}$

Passaggio 2.3.5.8.3

Moltiplica $2$ per $128$ .

$\frac{18915}{256}$

Passaggio 2.4

Somma i risultati delle sommatorie.

$2048 + \frac{18915}{256}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Per scrivere $2048$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{256}{256}$ .

$2048 \cdot \frac{256}{256} + \frac{18915}{256}$

Passaggio 2.5.2

$2048$ e $\frac{256}{256}$ .

$\frac{2048 \cdot 256}{256} + \frac{18915}{256}$

Passaggio 2.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2048 \cdot 256 + 18915}{256}$

Passaggio 2.5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $2048$ per $256$ .

$\frac{524288 + 18915}{256}$

Passaggio 2.5.4.2

Somma $524288$ e $18915$ .

$\frac{543203}{256}$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 0}^{0} 256 + {(\frac{3}{2})}^{i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Espandi la serie per ciascun valore di $i$ .

$256 + {(\frac{3}{2})}^{0}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$256 + \frac{3^{0}}{2^{0}}$

Passaggio 3.2.1.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$256 + \frac{1}{2^{0}}$

Passaggio 3.2.1.3

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$256 + \frac{1}{1}$

Passaggio 3.2.1.4

Dividi $1$ per $1$ .

$256 + 1$

Passaggio 3.2.2

Somma $256$ e $1$ .

$257$

Passaggio 4

Sostituisci le sommatorie con i valori trovati.

$\frac{543203}{256} + 257$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per scrivere $257$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + 257 \cdot \frac{256}{256}$

Passaggio 5.2

$257$ e $\frac{256}{256}$ .

$\frac{543203}{256} + \frac{257 \cdot 256}{256}$

Passaggio 5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{543203 + 257 \cdot 256}{256}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica $257$ per $256$ .

$\frac{543203 + 65792}{256}$

Passaggio 5.4.2

Somma $543203$ e $65792$ .

$\frac{608995}{256}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{608995}{256}$

Forma decimale:

$2378.88671875$

Forma numero misto:

$2378 \frac{227}{256}$