Precalcolo Esempi

$\sum_{i = 1}^{50} 2^{2 i}$

Passaggio 1

La somma di una serie geometrica finita può essere calcolata usando la formula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , dove $a$ è il primo termine, e $r$ è il rapporto tra i termini successivi.

Passaggio 2

Trova il rapporto dei termini successivi inserendo la formula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ e semplificando.

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Passaggio 2.1

All'interno della formula, sostituisci $r$ con $a_{i}$ e $a_{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{2 (i + 1)}}{2^{2 i}}$

Passaggio 2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2^{2 (i + 1)}$ e $2^{2 i}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $2^{2 i}$ da $2^{2 (i + 1)}$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i}}$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.2.1.2.1

Moltiplica per $1$ .

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$r = \frac{2^{2 i} \cdot 2^{2 (i + 1) - 2 i}}{2^{2 i} \cdot 1}$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$r = \frac{2^{2 (i + 1) - 2 i}}{1}$

Passaggio 2.2.1.2.4

Dividi $2^{2 (i + 1) - 2 i}$ per $1$ .

$r = 2^{2 (i + 1) - 2 i}$

Passaggio 2.2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$r = 2^{2 i + 2 \cdot 1 - 2 i}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$r = 2^{2 i + 2 - 2 i}$

Passaggio 2.2.3

Combina i termini opposti in $2 i + 2 - 2 i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Sottrai $2 i$ da $2 i$ .

$r = 2^{0 + 2}$

Passaggio 2.2.3.2

Somma $0$ e $2$ .

$r = 2^{2}$

Passaggio 2.2.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$r = 4$

Passaggio 3

Trova il primo termine nella serie sostituendo il minorante e semplificando.

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Passaggio 3.1

Sostituisci $i$ con $1$ in $2^{2 i}$ .

$a = 2^{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$a = 2^{2}$

Passaggio 3.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$a = 4$

Passaggio 4

Sostituisci i valori del rapporto, del primo termine e il numero di termini nella formula della somma.

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{1 - 4}$

Passaggio 5.1.2

Sottrai $4$ da $1$ .

$4 \frac{1 - 4^{50}}{- 3}$

Passaggio 5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$

Passaggio 5.3

Moltiplica $4 (- \frac{1 - 4^{50}}{3})$ .

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Passaggio 5.3.1

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4 \frac{1 - 4^{50}}{3}$

Passaggio 5.3.2

$- 4$ e $\frac{1 - 4^{50}}{3}$ .

$\frac{- 4 (1 - 4^{50})}{3}$

Passaggio 5.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{4 (1 - 4^{50})}{3}$

Forma decimale:

$1.6902008 \cdot 10^{30}$