Precalcolo Esempi

$[\begin{array}{c} x & y & z \\ u & v & w \\ - 3 & - 4 & 1 \end{array}]$

Passaggio 1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $1$ by its cofactor and add.

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Passaggio 1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

Passaggio 1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

Passaggio 1.3

The minor for $a_{11}$ is the determinant with row $1$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} v & w \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.4

Multiply element $a_{11}$ by its cofactor.

$x | \begin{array}{c} v & w \\ - 4 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.5

The minor for $a_{12}$ is the determinant with row $1$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} u & w \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.6

Multiply element $a_{12}$ by its cofactor.

$- y | \begin{array}{c} u & w \\ - 3 & 1 \end{array} |$

Passaggio 1.7

The minor for $a_{13}$ is the determinant with row $1$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.8

Multiply element $a_{13}$ by its cofactor.

$z | \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 1.9

Add the terms together.

$x | \begin{array}{c} v & w \\ - 4 & 1 \end{array} | - y | \begin{array}{c} u & w \\ - 3 & 1 \end{array} | + z | \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2

Calcola $| \begin{array}{c} v & w \\ - 4 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 2.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (v \cdot 1 - (- 4 w)) - y | \begin{array}{c} u & w \\ - 3 & 1 \end{array} | + z | \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1

Moltiplica $v$ per $1$ .

$x (v - (- 4 w)) - y | \begin{array}{c} u & w \\ - 3 & 1 \end{array} | + z | \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$x (v + 4 w) - y | \begin{array}{c} u & w \\ - 3 & 1 \end{array} | + z | \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3

Calcola $| \begin{array}{c} u & w \\ - 3 & 1 \end{array} |$ .

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Passaggio 3.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (v + 4 w) - y (u \cdot 1 - (- 3 w)) + z | \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.1

Moltiplica $u$ per $1$ .

$x (v + 4 w) - y (u - (- 3 w)) + z | \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$x (v + 4 w) - y (u + 3 w) + z | \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$

Passaggio 4

Calcola $| \begin{array}{c} u & v \\ - 3 & - 4 \end{array} |$ .

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Passaggio 4.1

È possibile trovare il determinante di una matrice $2 \times 2$ usando la formula $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ .

$x (v + 4 w) - y (u + 3 w) + z (u \cdot - 4 - (- 3 v))$

Passaggio 4.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.2.1

Sposta $- 4$ alla sinistra di $u$ .

$x (v + 4 w) - y (u + 3 w) + z (- 4 \cdot u - (- 3 v))$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$x (v + 4 w) - y (u + 3 w) + z (- 4 u + 3 v)$

Passaggio 5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.1

Applica la proprietà distributiva.

$x v + x (4 w) - y (u + 3 w) + z (- 4 u + 3 v)$

Passaggio 5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x v + 4 x w - y (u + 3 w) + z (- 4 u + 3 v)$

Passaggio 5.3

Applica la proprietà distributiva.

$x v + 4 x w - y u - y (3 w) + z (- 4 u + 3 v)$

Passaggio 5.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x v + 4 x w - y u - 1 \cdot 3 y w + z (- 4 u + 3 v)$

Passaggio 5.5

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x v + 4 x w - y u - 3 y w + z (- 4 u + 3 v)$

Passaggio 5.6

Applica la proprietà distributiva.

$x v + 4 x w - y u - 3 y w + z (- 4 u) + z (3 v)$

Passaggio 5.7

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x v + 4 x w - y u - 3 y w - 4 z u + z (3 v)$

Passaggio 5.8

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$x v + 4 x w - y u - 3 y w - 4 z u + 3 z v$