Precalcolo Esempi

$8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Semplifica $8 \log_{2} (\sqrt{3 x - 2})$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\log_{2} ({\sqrt{3 x - 2}}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.2

Riscrivi ${\sqrt{3 x - 2}}^{8}$ come ${(3 x - 2)}^{4}$ .

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Passaggio 1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3 x - 2}$ come ${(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{2} ({({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 8}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{8}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.2.4

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

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Passaggio 1.2.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.2.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.2.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 (1)}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.2.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.2.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{\frac{4}{1}}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.2.4.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + \log_{2} (4)$

Passaggio 1.3

Il logaritmo in base $2$ di $4$ è $2$ .

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4}) - \log_{2} (\frac{4}{x}) + 2$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4}}{\frac{4}{x}}) + 2$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\log_{2} ({(3 x - 2)}^{4} \frac{x}{4}) + 2$

Passaggio 3.2

${(3 x - 2)}^{4}$ e $\frac{x}{4}$ .

$\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$

Passaggio 4

Riordina i fattori in $\log_{2} (\frac{{(3 x - 2)}^{4} x}{4}) + 2$ .

$\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2$

Passaggio 5

Riscrivi $\log_{2} (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})$ usando la formula del cambiamento di base.

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Passaggio 5.1

È possibile usare la variazione della regola base se $a$ e $b$ sono maggiori di $0$ e non uguali a $1$ e $x$ è maggiore di $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} + 2$

Passaggio 5.2

Sostituisci con i valori per le variabili nella formula del cambiamento di base usando $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + 2$

Passaggio 6

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\log (2)}{\log (2)}$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4})}{\log (2)} + \frac{2 \log (2)}{\log (2)}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + 2 \log (2)}{\log (2)}$

Passaggio 8

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1

Semplifica $2 \log (2)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (2^{2})}{\log (2)}$

Passaggio 8.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4}) + \log (4)}{\log (2)}$

Passaggio 8.3

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

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Passaggio 8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\log (\frac{x {(3 x - 2)}^{4}}{4} \cdot 4)}{\log (2)}$

Passaggio 8.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\log (x {(3 x - 2)}^{4})}{\log (2)}$