Precalcolo Esempi

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Passaggio 1

Per prima cosa, dividi l'angolo in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti. In questo caso, $\frac{23 π}{12}$ può essere diviso in $\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4}$ .

$\tan (\frac{5 π}{3} + \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Utilizza la formula di addizione per la tangente per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{\tan (\frac{5 π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$\frac{- \tan (\frac{π}{3}) + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 3.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + \tan (\frac{π}{4})}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 3.3

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - \tan (\frac{5 π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \tan (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4.2

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{3})$ è $\sqrt{3}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 - - \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 4.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + 1 \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \tan (\frac{π}{4})}$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3} \cdot 1}$

Passaggio 4.5

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ per $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{- \sqrt{3} + 1}{1 + \sqrt{3}}$ per $\frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ .

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{(1 + \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}$

Passaggio 6.2

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{1 - \sqrt{3} + \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$\frac{(- \sqrt{3} + 1) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1

Riordina i termini.

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7.2

Eleva $1 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 7.3

Eleva $1 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1} {(1 - \sqrt{3})}^{1}}{- 2}$

Passaggio 7.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}$

Passaggio 7.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{- 2}$

Passaggio 8

Riscrivi ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 9

Espandi $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 9.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 9.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 10

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 10.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 10.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 10.1.2

Moltiplica $- \sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 10.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 10.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Passaggio 10.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{- 2}$

Passaggio 10.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{- 2}$

Passaggio 10.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 10.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 10.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}}{- 2}$

Passaggio 10.1.5.5

Calcola l'esponente.

$\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{- 2}$

Passaggio 10.2

Somma $1$ e $3$ .

$\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 10.3

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 11

Elimina il fattore comune di $4 - 2 \sqrt{3}$ e $- 2$ .

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Passaggio 11.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{- 2}$

Passaggio 11.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.3

Scomponi $2$ da $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{- 2}$

Passaggio 11.4

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2 - \sqrt{3}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$

Passaggio 12

Riscrivi $- 1 \cdot (2 - \sqrt{3})$ come $- (2 - \sqrt{3})$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Passaggio 13

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Passaggio 14

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Passaggio 15

Moltiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 15.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Passaggio 15.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Passaggio 16

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 2 + \sqrt{3}$

Forma decimale:

$- 0.26794919 \dots$