Precalcolo Esempi

$\csc (\frac{5 π}{12})$

Passaggio 1

Sostituisci $\csc (\frac{5 π}{12})$ con un'espressione equivalente $\frac{1}{\sin (\frac{5 π}{12})}$ usando le identità fondamentali.

$\frac{1}{\sin (\frac{5 π}{12})}$

Passaggio 2

Utilizza una formula di somma o differenza sul denominatore.

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Passaggio 2.1

Per prima cosa, dividi l'angolo in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti. In questo caso, $\frac{5 π}{12}$ può essere diviso in $\frac{π}{6} + \frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6} + \frac{π}{4})}$

Passaggio 2.2

Utilizza la formula di addizione del seno per semplificare l'espressione. La formula stabilisce che $\sin (A + B) = \sin (A) \cos (B) + \cos (A) \sin (B)$ .

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 2.3

Rimuovi le parentesi.

$\frac{1}{\sin (\frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \cos (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 2.4.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \cos (\frac{π}{6}) \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 2.4.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sin (\frac{π}{4})}$

Passaggio 2.4.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Passaggio 2.4.6

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 2.4.6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3} \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.6.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{3 \cdot 2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.6.3

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 2.4.6.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}}$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}}$

Passaggio 3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ per $1$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$

Passaggio 3.4

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $\frac{4}{\sqrt{2} + \sqrt{6}}$ per $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{\sqrt{2} - \sqrt{6}}$ .

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{(\sqrt{2} + \sqrt{6}) (\sqrt{2} - \sqrt{6})}$

Passaggio 3.6

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{{\sqrt{2}}^{2} - \sqrt{12} + \sqrt{12} - {\sqrt{6}}^{2}}$

Passaggio 3.7

Semplifica.

$\frac{4 (\sqrt{2} - \sqrt{6})}{- 4}$

Passaggio 3.8

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.8.1

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Passaggio 3.8.2

Riscrivi $- 1 \cdot (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ come $- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$ .

$- (\sqrt{2} - \sqrt{6})$

Passaggio 3.9

Applica la proprietà distributiva.

$- \sqrt{2} - - \sqrt{6}$

Passaggio 3.10

Moltiplica $- - \sqrt{6}$ .

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Passaggio 3.10.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \sqrt{2} + 1 \sqrt{6}$

Passaggio 3.10.2

Moltiplica $\sqrt{6}$ per $1$ .

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \sqrt{2} + \sqrt{6}$

Forma decimale:

$1.03527618 \dots$