Precalcolo Esempi

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x)) (\cos (x) + 1)$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$

Passaggio 2.2

Espandi $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\cos (x) + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\cos (x) + 1) - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} (\cos (x) + 1)$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1.1

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.2

Moltiplica $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ per $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.3

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot 1$

Passaggio 2.3.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} + 0 - \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.3.3

Somma $\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$ e $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.5

Riordina $\cos^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{- 1 + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.7

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ come $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \cos^{2} (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 2.10

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 2.11

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (x)$ e $\sin (x)$ .

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Passaggio 2.11.1

Scomponi $\sin (x)$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x)}$

Passaggio 2.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.11.2.1

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin (x) (- \sin (x))}{\sin (x) \cdot 1}$

Passaggio 2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- \sin (x)}{1}$

Passaggio 2.11.2.4

Dividi $- \sin (x)$ per $1$ .

$- \sin (x)$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$(\cot (x) - \csc (x)) (\cos (x) + 1) = - \sin (x)$ è un'identità