Precalcolo Esempi

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (2 u)$ e $b = \sin (2 u)$ .

$(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Passaggio 2.2

Espandi $(\cos (2 u) + \sin (2 u)) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Passaggio 2.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) (\cos (2 u) - \sin (2 u))$

Passaggio 2.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Passaggio 2.3

Combina i termini opposti in $\cos (2 u) \cos (2 u) + \cos (2 u) (- \sin (2 u)) + \sin (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$ .

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Passaggio 2.3.1

Riordina i fattori nei termini di $\cos (2 u) (- \sin (2 u))$ e $\sin (2 u) \cos (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) - \cos (2 u) \sin (2 u) + \cos (2 u) \sin (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Passaggio 2.3.2

Somma $- \cos (2 u) \sin (2 u)$ e $\cos (2 u) \sin (2 u)$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + 0 + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Passaggio 2.3.3

Somma $\cos (2 u) \cos (2 u)$ e $0$ .

$\cos (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Passaggio 2.4

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\cos (2 u) \cos (2 u)$ .

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Passaggio 2.4.1.1

Eleva $\cos (2 u)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Passaggio 2.4.1.2

Eleva $\cos (2 u)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{1} (2 u) \cos^{1} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Passaggio 2.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (2 u)}^{1 + 1} + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Passaggio 2.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (2 u) + \sin (2 u) (- \sin (2 u))$

Passaggio 2.4.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\cos^{2} (2 u) - \sin (2 u) \sin (2 u)$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- \sin (2 u) \sin (2 u)$ .

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Passaggio 2.4.3.1

Eleva $\sin (2 u)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin (2 u))$

Passaggio 2.4.3.2

Eleva $\sin (2 u)$ alla potenza di $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - (\sin^{1} (2 u) \sin^{1} (2 u))$

Passaggio 2.4.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (2 u) - {\sin (2 u)}^{1 + 1}$

Passaggio 2.4.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$

Passaggio 2.5

Applica l'identità a doppio angolo del coseno.

$\cos (2 (2 u))$

Passaggio 2.6

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\cos (4 u)$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos (4 u) = \cos^{2} (2 u) - \sin^{2} (2 u)$ è un'identità