Precalcolo Esempi

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1}{\sin (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)}$ per $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{\sin (x)}$ per $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{(1 - \cos (x)) \sin (x)} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \cos (x)) \sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))} - \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 2.5.1.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.1.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1} - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 \cdot 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 - - \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- - \cos (x)$ .

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Passaggio 2.5.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + 1 \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.4.2

Moltiplica $\cos (x)$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x) - 1 + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.5

Riordina $\sin^{2} (x)$ e $- 1$ .

$\frac{- 1 + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.6

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$\frac{- 1 (1) + \sin^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.7

Scomponi $- 1$ da $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.8

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- 1 (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.9

Riscrivi $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ come $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{- (1 - \sin^{2} (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.10

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \cos^{2} (x) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.11

Scomponi $\cos (x)$ da $- \cos^{2} (x) + \cos (x)$ .

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Passaggio 2.5.11.1

Scomponi $\cos (x)$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.11.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.5.11.3

Scomponi $\cos (x)$ da $\cos (x) (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1$ .

$\frac{\cos (x) (- \cos (x) + 1)}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.6

Elimina il fattore comune di $- \cos (x) + 1$ e $1 - \cos (x)$ .

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Passaggio 2.6.1

Riordina i termini.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.6.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) (1 - \cos (x))}{\sin (x) (1 - \cos (x))}$

Passaggio 2.6.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ come $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} - \frac{1}{\sin (x)} = \cot (x)$ è un'identità