Precalcolo Esempi

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a)$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\cot (a)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} \cdot \frac{\sin (a)}{\sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)}$ per $\frac{\sin (a)}{\sin (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)} \cdot \frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ per $\frac{1 - \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{(1 - \cos (a)) \sin (a)} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(1 - \cos (a)) \sin (a)$ .

$\frac{\sin (a) \sin (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))} - \frac{\cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sin (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Moltiplica $\sin (a) \sin (a)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Eleva $\sin (a)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.1.2

Eleva $\sin (a)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{1} (a) \sin^{1} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{{\sin (a)}^{1 + 1} - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) (1 - \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) \cdot 1 - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) - \cos (a) (- \cos (a))}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.4

Moltiplica $- \cos (a) (- \cos (a))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + 1 \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.4.2

Moltiplica $\cos (a)$ per $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.4.3

Eleva $\cos (a)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.4.4

Eleva $\cos (a)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{1} (a) \cos^{1} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + {\cos (a)}^{1 + 1}}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.5

Riscrivi $\sin^{2} (a) - \cos (a) + \cos^{2} (a)$ in una forma fattorizzata.

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Passaggio 2.6.5.1

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{- \cos (a) + \sin^{2} (a) + \cos^{2} (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.6.5.2

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{- \cos (a) + 1}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.7

Elimina il fattore comune di $- \cos (a) + 1$ e $1 - \cos (a)$ .

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Passaggio 2.7.1

Riordina i termini.

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.7.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 - \cos (a)}{\sin (a) (1 - \cos (a))}$

Passaggio 2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{\sin (a)}$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{1}{\sin (a)}$ come $\csc (a)$ .

$\csc (a)$

Passaggio 4

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sin (a)}{1 - \cos (a)} - \cot (a) = \csc (a)$ è un'identità