Precalcolo Esempi

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Passaggio 1

Inizia dal lato destro.

$- \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\csc^{4} (A)$ come ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

$- \cot^{4} (A) + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\cot^{4} (A)$ come ${(\cot^{2} (A))}^{2}$ .

$- {(\cot^{2} (A))}^{2} + {(\csc^{2} (A))}^{2}$

Passaggio 2.3

Riordina $- {(\cot^{2} (A))}^{2}$ e ${(\csc^{2} (A))}^{2}$ .

${(\csc^{2} (A))}^{2} - {(\cot^{2} (A))}^{2}$

Passaggio 2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \csc^{2} (A)$ e $b = \cot^{2} (A)$ .

$(\csc^{2} (A) + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Passaggio 2.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi $\csc (A)$ in termini di seno e coseno.

$({(\frac{1}{\sin (A)})}^{2} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Passaggio 2.5.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Passaggio 2.5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \cot^{2} (A)) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Passaggio 2.5.4

Riscrivi $\cot (A)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Passaggio 2.5.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) (\csc^{2} (A) - \cot^{2} (A))$

Passaggio 2.6

Applica l'identità pitagorica.

$(\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}) \cdot 1$

Passaggio 2.7

Moltiplica $\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$ per $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (A)} + \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Passaggio 3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Passaggio 4

Ora considera il lato sinistro dell'equazione.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A)$

Passaggio 5

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scrivi $\cot (A)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + \csc^{2} (A)$

Passaggio 5.2

Applica l'identità reciproca a $\csc (A)$ .

${(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Passaggio 5.3

Applica la regola del prodotto a $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + {(\frac{1}{\sin (A)})}^{2}$

Passaggio 5.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\sin (A)}$ .

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (A)}$

Passaggio 6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)} + \frac{1}{\sin^{2} (A)}$

Passaggio 7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos^{2} (A) + 1}{\sin^{2} (A)}$

Passaggio 8

Riordina i termini.

$\frac{1 + \cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}$

Passaggio 9

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cot^{2} (A) + \csc^{2} (A) = - \cot^{4} (A) + \csc^{4} (A)$ è un'identità