Precalcolo Esempi

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

Passaggio 2

Moltiplica $\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$ per $\frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$ .

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} \cdot \frac{1 - \sec (x)}{1 - \sec (x)}$

Passaggio 3

Combina.

$\frac{\sec (x) (1 - \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $\sec (x)$ per $1$ .

$\frac{\sec (x) + \sec (x) (- \sec (x))}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\sec (x) (- \sec (x))$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Espandi $(1 + \sec (x)) (1 - \sec (x))$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 (1 - \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 5.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) (1 - \sec (x))}$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sec (x)) + \sec (x) \cdot 1 + \sec (x) (- \sec (x))}$

Passaggio 5.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Passaggio 6

Applica l'identità pitagorica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riordina $1$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) + 1}$

Passaggio 6.2

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x)) + 1}$

Passaggio 6.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1}$

Passaggio 6.4

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- (\sec^{2} (x) - 1)}$

Passaggio 6.5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sec (x) - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Passaggio 7

Converti in seni e coseni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \sec^{2} (x)}{- \tan^{2} (x)}$

Passaggio 7.2

Applica l'identità reciproca a $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- \tan^{2} (x)}$

Passaggio 7.3

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 7.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Passaggio 7.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}{- \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.3

Per scrivere $\frac{1}{\cos (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di ${\cos (x)}^{2}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\cos (x)}$ per $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$(\frac{\cos (x)}{\cos (x) \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4.2

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} \cos (x)} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4.3

Eleva $\cos (x)$ alla potenza di $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$(\frac{\cos (x)}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{1}{{\cos (x)}^{2}}) (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} (- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.6

Elimina il fattore comune di ${\cos (x)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{- {\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.6.2

Scomponi ${\cos (x)}^{2}$ da $- {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.6.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (x) - 1}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} \cdot - 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.6.4

Riscrivi l'espressione.

$(\cos (x) - 1) \frac{- 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Passaggio 8.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$(\cos (x) - 1) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.8

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (x) (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}) - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.9

$\cos (x)$ e $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$- \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$

Passaggio 8.10

Moltiplica $- 1 (- \frac{1}{{\sin (x)}^{2}})$ .

$- \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)} + \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 10

Riordina i termini.

$\frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Passaggio 11

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)} = \frac{1 - \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ è un'identità