Precalcolo Esempi

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} = 2 \sec (x)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 2

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ per $\frac{\sec (x) + \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \cdot \frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ per $\frac{\sec (x) - \tan (x)}{\sec (x) - \tan (x)}$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))} - \frac{\csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(\sec (x) - \tan (x)) (\sec (x) + \tan (x))$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))} - \frac{\csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\csc (x) (\sec (x) + \tan (x)) - \csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) (\sec (x) - \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 3.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) - \csc (x) (- \tan (x))}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- \csc (x) (- \tan (x))$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) + 1 \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $\csc (x)$ per $1$ .

$\frac{\csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x) - \csc (x) \sec (x) + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 3.2

Sottrai $\csc (x) \sec (x)$ da $\csc (x) \sec (x)$ .

$\frac{\csc (x) \tan (x) + 0 + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 3.3

Somma $\csc (x) \tan (x)$ e $0$ .

$\frac{\csc (x) \tan (x) + \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 3.4

Somma $\csc (x) \tan (x)$ e $\csc (x) \tan (x)$ .

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(\sec (x) + \tan (x)) (\sec (x) - \tan (x))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) (\sec (x) - \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) (\sec (x) - \tan (x))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) (- \tan (x)) + \tan (x) \sec (x) + \tan (x) (- \tan (x))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2 \csc (x) \tan (x)}{1}$

Passaggio 6

Converti in seni e coseni.

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Passaggio 6.1

Applica l'identità reciproca a $\csc (x)$ .

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)} \tan (x)}{1}$

Passaggio 6.2

Scrivi $\tan (x)$ in seno e coseno utilizzando l'identità quoziente.

$\frac{2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{1}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi $2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ per $1$ .

$2 \frac{1}{\sin (x)} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 7.2

$2$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 7.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 7.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Passaggio 7.3.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 7.4

$2$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{2}{\cos (x)}$

Passaggio 8

Riscrivi $\frac{2}{\cos (x)}$ come $2 \sec (x)$ .

$2 \sec (x)$

Passaggio 9

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{\csc (x)}{\sec (x) - \tan (x)} - \frac{\csc (x)}{\sec (x) + \tan (x)} = 2 \sec (x)$ è un'identità