Precalcolo Esempi

$6 \sin (\frac{π}{12}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$6 \sin (\frac{π}{4} - \frac{π}{6}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$6 (\sin (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.3

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \cos (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.5

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6})) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$6 (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.7.1.2

Moltiplica $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$6 (\frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}) \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 1.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$2 (3) \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 2.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 2.4

Riscrivi l'espressione.

$3 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 3

$3$ e $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cos (\frac{π}{12})$

Passaggio 4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{12})$ è $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cos (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Passaggio 4.2

Applica le formule di sottrazione degli angoli $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\cos (\frac{π}{4}) \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cos (\frac{π}{6}) + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin (\frac{π}{4}) \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (\frac{π}{6}))$

Passaggio 4.6

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{6})$ è $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 4.7

Semplifica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.1.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 4.7.1.1.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 4.7.1.1.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{2 \cdot 2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 4.7.1.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

Passaggio 4.7.1.2

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1.2.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2})$

Passaggio 4.7.1.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} (\frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4})$

Passaggio 4.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Passaggio 5

Moltiplica $\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Moltiplica $\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{2}$ per $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{2 \cdot 4}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $4$ .

$\frac{3 (\sqrt{6} - \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(3 \sqrt{6} + 3 (- \sqrt{2})) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{(3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 6.3

Espandi $(3 \sqrt{6} - 3 \sqrt{2}) (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \sqrt{6} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) - 3 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 6.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \sqrt{6} \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} (\sqrt{6} + \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 6.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 \sqrt{6} \sqrt{6} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1

Moltiplica $3 \sqrt{6} \sqrt{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.1

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}) + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.1.2

Eleva $\sqrt{6}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 ({\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}) + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 {\sqrt{6}}^{1 + 1} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 {\sqrt{6}}^{2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.2

Riscrivi ${\sqrt{6}}^{2}$ come $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{6}$ come $6^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(6^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cdot 6^{\frac{2}{2}} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \cdot 6^{1} + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3 \cdot 6 + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.3

Moltiplica $3$ per $6$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{6} \sqrt{2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.4

Moltiplica $3 \sqrt{6} \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.4.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{18 + 3 \sqrt{2 \cdot 6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.4.2

Moltiplica $2$ per $6$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.5

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.5.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{4 (3)} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{18 + 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{18 + 3 (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.7

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{6} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.8

Moltiplica $- 3 \sqrt{2} \sqrt{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.8.1

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{6 \cdot 2} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.8.2

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{12} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.9

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.9.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{4 (3)} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.9.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2^{2} \cdot 3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.10

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 3 (2 \sqrt{3}) - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.11

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \sqrt{2} \sqrt{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.12

Moltiplica $- 3 \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.12.1

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{8}$

Passaggio 6.4.1.12.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{8}$

Passaggio 6.4.1.12.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8}$

Passaggio 6.4.1.12.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {\sqrt{2}}^{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.13

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.13.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.13.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8}$

Passaggio 6.4.1.13.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Passaggio 6.4.1.13.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.13.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{8}$

Passaggio 6.4.1.13.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2^{1}}{8}$

Passaggio 6.4.1.13.5

Calcola l'esponente.

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 2}{8}$

Passaggio 6.4.1.14

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{18 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 6}{8}$

Passaggio 6.4.2

Sottrai $6$ da $18$ .

$\frac{12 + 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{8}$

Passaggio 6.4.3

Sottrai $6 \sqrt{3}$ da $6 \sqrt{3}$ .

$\frac{12 + 0}{8}$

Passaggio 6.4.4

Somma $12$ e $0$ .

$\frac{12}{8}$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $12$ e $8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{4 (3)}{8}$

Passaggio 7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \cdot 3}{4 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{3}{2}$

Forma decimale:

$1.5$

Forma numero misto:

$1 \frac{1}{2}$