Precalcolo Esempi

f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24

$f (x) = 4 x^{2} + 20 x - 24$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per

4 x^{2} + 20 x - 24

$4 x^{2} + 20 x - 24$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = 4

$a = 4$

b = 20

$b = 20$

c = - 24

$c = - 24$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{20}{2 \cdot 4}

$d = \frac{20}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di

20

$20$ e

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Scomponi

2

$2$ da

20

$20$ .

d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.1

Scomponi

2

$2$ da

2 \cdot 4

$2 \cdot 4$ .

d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 (4)}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 10}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{10}{4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di

$10$ e

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$10$ .

$d = \frac{2 (5)}{4}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.1

Scomponi

$2$ da

$4$ .

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{5}{2}$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di

$e$ usando la formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

$c$ ,

$b$ e

$a$ nella formula

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = - 24 - \frac{20^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva

$20$ alla potenza di

$2$ .

$e = - 24 - \frac{400}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica

$4$ per

$4$ .

$e = - 24 - \frac{400}{16}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Dividi

$400$ per

$16$ .

$e = - 24 - 1 \cdot 25$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica

$- 1$ per

$25$ .

$e = - 24 - 25$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Sottrai

$25$ da

$- 24$ .

$e = - 49$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di

$a$ ,

$d$ e

$e$ nella forma del vertice di

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$ .

$4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

Passaggio 1.1.2

Imposta

$y$ uguale al nuovo lato destro.

$y = 4 {(x + \frac{5}{2})}^{2} - 49$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice,

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

$a$ ,

$h$ e

$k$ .

$a = 4$

$h = - \frac{5}{2}$

$k = - 49$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di

$a$ è positivo, la parabola si apre in alto.

Si apre in alto

Passaggio 1.4

Trova il vertice

$(h, k)$ .

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Passaggio 1.5

Trova

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di

$a$ nella formula.

$\frac{1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.5.3

Moltiplica

$4$ per

$4$ .

$\frac{1}{16}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

$p$ alla coordinata y

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di

$h$ ,

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

$x = - \frac{5}{2}$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

$p$ dalla coordinata y

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di

$p$ e

$k$ nella formula e semplifica.

$y = - \frac{785}{16}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Fuoco:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Asse di simmetria:

$x = - \frac{5}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{785}{16}$

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Fuoco:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Asse di simmetria:

$x = - \frac{5}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{785}{16}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

$y$ . I valori di

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = 4 {(- 3)}^{2} + 20 (- 3) - 24$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva

$- 3$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 3) = 4 \cdot 9 + 20 (- 3) - 24$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

$4$ per

$9$ .

$f (- 3) = 36 + 20 (- 3) - 24$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica

$20$ per

$- 3$ .

$f (- 3) = 36 - 60 - 24$

Passaggio 2.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Sottrai

$60$ da

$36$ .

$f (- 3) = - 24 - 24$

Passaggio 2.2.2.2

Sottrai

$24$ da

$- 24$ .

$f (- 3) = - 48$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

$- 48$ .

$- 48$

Passaggio 2.3

Il valore

$y$ con

$x = - 3$ è

$- 48$ .

$y = - 48$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 4$ nell'espressione.

$f (- 4) = 4 {(- 4)}^{2} + 20 (- 4) - 24$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva

$- 4$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 4) = 4 \cdot 16 + 20 (- 4) - 24$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica

$4$ per

$16$ .

$f (- 4) = 64 + 20 (- 4) - 24$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica

$20$ per

$- 4$ .

$f (- 4) = 64 - 80 - 24$

Passaggio 2.5.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai

$80$ da

$64$ .

$f (- 4) = - 16 - 24$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai

$24$ da

$- 16$ .

$f (- 4) = - 40$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è

$- 40$ .

$- 40$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = - 4$ è

$- 40$ .

$y = - 40$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = 4 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) - 24$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Eleva

$- 1$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 1) = 4 \cdot 1 + 20 (- 1) - 24$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica

$4$ per

$1$ .

$f (- 1) = 4 + 20 (- 1) - 24$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica

$20$ per

$- 1$ .

$f (- 1) = 4 - 20 - 24$

Passaggio 2.8.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Sottrai

$20$ da

$4$ .

$f (- 1) = - 16 - 24$

Passaggio 2.8.2.2

Sottrai

$24$ da

$- 16$ .

$f (- 1) = - 40$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è

$- 40$ .

$- 40$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = - 1$ è

$- 40$ .

$y = - 40$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 {(0)}^{2} + 20 (0) - 24$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 + 20 (0) - 24$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica

$4$ per

$0$ .

$f (0) = 0 + 20 (0) - 24$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica

$20$ per

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 24$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Somma

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0 - 24$

Passaggio 2.11.2.2

Sottrai

$24$ da

$0$ .

$f (0) = - 24$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è

$- 24$ .

$- 24$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = 0$ è

$- 24$ .

$y = - 24$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in alto

Vertice:

$(- \frac{5}{2}, - 49)$

Fuoco:

$(- \frac{5}{2}, - \frac{783}{16})$

Asse di simmetria:

$x = - \frac{5}{2}$

Direttrice:

$y = - \frac{785}{16}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 4 & - 40 \\ - 3 & - 48 \\ - \frac{5}{2} & - 49 \\ - 1 & - 40 \\ 0 & - 24 \end{array}$

Passaggio 4