Precalcolo Esempi

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)} > 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x = 0$

$2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = 2$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot 1$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.3

Sottrai $8$ da $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $- 4$ come $- 1 (4)$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (4)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.7

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \frac{- 2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.9

Sposta $2$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 i}{4}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{- 2 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i}{2}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

Passaggio 6

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 0$

$x = - \frac{1}{2} + \frac{i}{2}, - \frac{1}{2} - \frac{i}{2}$

$x = - 1$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 0, - 1$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{2 x^{2} + 2 x + 1}{x (x + 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x (x + 1) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $x (x + 1) = 0$ vera.

$x = 0, - 1$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$x > 0$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) + 1}{(- 4) ((- 4) + 1)} > 0$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $2.08\overline{3}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 0.5$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $- 0.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 {(- 0.5)}^{2} + 2 (- 0.5) + 1}{(- 0.5) ((- 0.5) + 1)} > 0$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 2$ non è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2 {(2)}^{2} + 2 (2) + 1}{(2) ((2) + 1)} > 0$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $2.1\overline{6}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Vero

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 0$ Falso

$x > 0$ Vero

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 1$ o $x > 0$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 1 or x > 0$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 1) \cup (0, \infty)$

Passaggio 14