Precalcolo Esempi

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} < \frac{13}{4 - x^{2}}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{13}{4 - x^{2}}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{4 - x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{2^{2} - x^{2}} < 0$

Passaggio 2.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x$ .

$\frac{2}{x + 2} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $\frac{2}{x + 2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $\frac{x}{2 - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2}{x + 2} \cdot \frac{2 - x}{2 - x} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x + 2) (2 - x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{2}{x + 2}$ per $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x}{2 - x} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{x}{2 - x}$ per $\frac{x + 2}{x + 2}$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(x + 2) (2 - x)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{2 (2 - x)}{(2 - x) (x + 2)} + \frac{x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 (2 - x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cdot 2 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.6.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 + 2 (- x) + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{4 - 2 x + x (x + 2)}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{4 - 2 x + x \cdot x + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.6.5

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + x \cdot 2}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.6.6

Sposta $2$ alla sinistra di $x$ .

$\frac{4 - 2 x + x^{2} + 2 \cdot x}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.6.7

Somma $- 2 x$ e $2 x$ .

$\frac{4 + x^{2} + 0}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.6.8

Somma $4 + x^{2}$ e $0$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 + x) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.7

Riordina i termini.

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(x + 2) (2 - x)} < 0$

Passaggio 2.8

Riordina i fattori di $(x + 2) (2 - x)$ .

$\frac{4 + x^{2}}{(2 - x) (x + 2)} - \frac{13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Passaggio 2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 + x^{2} - 13}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Passaggio 2.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.10.1

Sottrai $13$ da $4$ .

$\frac{x^{2} - 9}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Passaggio 2.10.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Passaggio 2.10.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 5

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 8

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 9

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - 3$

$x = 3$

$x = 2$

$x = - 2$

Passaggio 10

Consolida le soluzioni.

$x = - 3, 3, 2, - 2$

Passaggio 11

Trova il dominio di $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 3) (x - 3)}{(2 - x) (x + 2)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(2 - x) (x + 2) = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 11.2.2

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Imposta $2 - x$ uguale a $0$ .

$2 - x = 0$

Passaggio 11.2.2.2

Risolvi $2 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 2$

Passaggio 11.2.2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 2$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 11.2.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 11.2.2.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Passaggio 11.2.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.2.3.1

Dividi $- 2$ per $- 1$ .

$x = 2$

Passaggio 11.2.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 11.2.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 11.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 - x) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 2, - 2$

Passaggio 11.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 2) \cup (2, \infty)$

Passaggio 12

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 2$

$- 2 < x < 2$

$2 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 13.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 6$

Passaggio 13.1.2

Sostituisci $x$ con $- 6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(- 6) + 2} + \frac{- 6}{2 - (- 6)} < \frac{13}{4 - {(- 6)}^{2}}$

Passaggio 13.1.3

Il lato sinistro di $- 1.25$ è minore del lato destro di $- 0.40625$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.2

Testa un valore sull'intervallo $- 3 < x < - 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 3 < x < - 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2.5$

Passaggio 13.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(- 2.5) + 2} + \frac{- 2.5}{2 - (- 2.5)} < \frac{13}{4 - {(- 2.5)}^{2}}$

Passaggio 13.2.3

Il lato sinistro di $- 4.\overline{5}$ non è minore del lato destro di $- 5.\overline{7}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 13.3

Testa un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 2 < x < 2$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 13.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(0) + 2} + \frac{0}{2 - (0)} < \frac{13}{4 - {(0)}^{2}}$

Passaggio 13.3.3

Il lato sinistro di $1$ è minore del lato destro di $3.25$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.4

Testa un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $2 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2.5$

Passaggio 13.4.2

Sostituisci $x$ con $2.5$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(2.5) + 2} + \frac{2.5}{2 - (2.5)} < \frac{13}{4 - {(2.5)}^{2}}$

Passaggio 13.4.3

Il lato sinistro di $- 4.\overline{5}$ non è minore del lato destro di $- 5.\overline{7}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 13.5

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{2}{(6) + 2} + \frac{6}{2 - (6)} < \frac{13}{4 - {(6)}^{2}}$

Passaggio 13.5.3

Il lato sinistro di $- 1.25$ è minore del lato destro di $- 0.40625$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.6

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Vero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 3$ Vero

$- 3 < x < - 2$ Falso

$- 2 < x < 2$ Vero

$2 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 3$ o $- 2 < x < 2$ o $x > 3$

Passaggio 15

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma della diseguaglianza:

$x < - 3 or - 2 < x < 2 or x > 3$

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 3) \cup (- 2, 2) \cup (3, \infty)$

Passaggio 16